Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix _{B}f_{B}

Question

Darstellungsmatrix berechnen:

Sei \( V= {\mathbb{Z}_{5}}^{3} \) (modulos) \( f: V \rightarrow V \quad f(v)=A \cdot v \)

\( A:=\left(\begin{array}{ccc}5 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & -2 \\ 1 & -4 & 2\end{array}\right) \quad \)

\( B:=\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 3 \\ 1\end{array}\right)\right\} \)

Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix \( _{B}f_{B} \).

Mein Ergebnis:

\( \left(\begin{array}{lll} 1 & 3 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) \)

Ergebnis Dozent:

\( \left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 1 & 2\end{array}\right) \)

Ich habe erst die Bilder von B berechnet und diese Bilder dann mit B wieder dargestellt... In den Lösungen hat mein Dozent auch etwas geschrieben mit _B f _B = _B id _s *  _s f _s * _s id _B

Answer 1

Für die erste Spalte der Matrix musst du den 1. Basisvektor

abbilden, das gibt ( (-1;1;-1)^T bzw. in Z5 dann ( 4 ; 1 ; 4 )^T

Diesen musst du durch die drei vorgegebenen

Basisvektoren ausdrücken.

Also mit a*(1;2;3)^T +b*(2;1;2)^T + c*(0;3;1)^T = ( 4 ; 1 ; 4 )^T

Da bekomme ich a=3  b=3   c=4 .

Und diese drei Zahlen bilden die 1. Spalte der Matrix.

Entsprechendes mit dem 2. und 3. Basisvektor bestätigt

das Ergebnis deiner Dozentin.