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Aufgaben:

1.) Die beiden Wendepunkte des Graphen f mit f(x) = 1/2 * ( -x^4 + 2x^3 +x) und der Schnittpunkt S der
Wendetangenten bestimmen ein Dreieck. Bestimmen Sie, in welchem Verhältnis der Graph von f die
Fläche des Dreiecks teilt.


2.) Der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades hat in W=(4/4) den Wendepunkt W mit der
Wendetangente tw: y = -3x+16 und verläuft durch den Punkt P=(0/0).
Wie lautet die Funktionsgleichung?


3.) Der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades geht durch den Punkt P=(0/-6,25) und hat bei x = -1
eine Nullstelle, bei x = 3 eine Wendestelle mit der Steigung 3.

Zeigen Sie, dass die Funktionsgleichung

f(x) = 1/4 ⋅ (−x^3 + 9x^2 −15x − 25) lautet.

von

Zu 3. Wenn da steht,

Zeigen Sie, dass die Funktionsgleichung f(x) = 1/4 ⋅ (−x3 + 9x2 −15x − 25) lautet.

genügt es, wenn man diese Funktion untersucht und alle Eigenschaften, die verlangt werden, überprüft.

Beachte, dass x bei 15^x nicht im Exponenenten stehen kann. Ich korrigiere das mal in der Frage.

1 Antwort

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Zu 1.)

f(x) = 1/2·(- x^4 + 2·x^3 + x) = - 0.5·x^4 + x^3 + 0.5·x
f'(x) = - 2·x^3 + 3·x^2 + 0.5
f''(x) = 6·x - 6·x^2

Wendestellen f''(x) = 0
6·x - 6·x^2 = 0
x = 1 ∨ x = 0

Wendetangenten
t1(x) = f'(0) * (x - 0) + f(0) = 0.5·x
t2(x) = f'(1) * (x - 1) + f(1) = 1.5·x - 0.5

Skizze

∫ (0 bis 0.5) (x - 0.5·x) dx = 0.0625

∫ (0.5 bis 1) (x - (1.5·x - 0.5)) dx = 0.0625

A_Dreieck = 0.0625 + 0.0625 = 0.125

∫ (0 bis 1) (x - (- 0.5·x^4 + x^3 + 0.5·x)) dx = 0.1

Anteil: 0.1 / 0.125 = 4/5

Das Dreieck wird im Verhältnis von 4 zu 1 geteilt.


Zu 2.)

Der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades hat in W=(4/4) den Wendepunkt W mit der Wendetangente tw: y = -3x+16 und verläuft durch den Punkt P=(0/0). Wie lautet die Funktionsgleichung?

f(4) = 4  || Der Funktionswert im Wendepunkt ist als Punkt vorgegeben
f'(4) = -3  || Die Steigung muss am Wendepunkt der Steigung der Wendetangente entsprechen
f''(4) = 0  || Die Krümmung muss 0 sein weil wir hier einen Wendepunkt haben
f(0) = 0

Die Gleichungen

64a + 16b + 4c + d = 4 
48a + 8b + c = -3 
24a + 2b = 0 
d = 0

Funktion

f(x) = 0,25·x3 - 3·x2 + 9·x


Zu 3.)

Der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades geht durch den Punkt P=(0/-6,25) und hat bei x = -1 eine Nullstelle, bei x = 3 eine Wendestelle mit der Steigung 3. Zeigen Sie, dass die Funktionsgleichung f(x) = 1/4 ⋅ (−x^3 + 9x^2 −15x − 25) lautet.

Eigentlich langt es wenn man bei zeigen sie zeigt das die Funktion die Bedingungen erfüllt. Ich stelle aber trotzdem mal die Bedingungen und Gleichungen auf.

f(0) = -6.25
f(-1) = 0
f''(3) = 0
f'(3) = 3

d = -6,25
-a + b - c + d = 0
18a + 2b = 0
27a + 6b + c = 3

f(x) = -0,25·x^3 + 2,25·x^2 - 3,75·x - 6,25 = 1/4·(- x^3 + 9·x^2 - 15·x - 25)

Damit ist das gezeigt und sogar hergeleitet.

von 477 k 🚀

Zuerst einmal danke für die Antwort!

Bei 1.), der Berechnung der Wendestellen habe ich eine Frage.

Ich habe die Ausgangsfunktion: -0,5x^4 + x^3 + 0,5x.

Für die Wendestelle nehme ich die erste Funktion und setze diese 0: 

6x² + 6x= 0 / -6x

6x² = -6x  / : -6

x² = -1 


Ich erhalte hier für x²= -1. Muss ich jetzt  / * 1 rechnen, um x und nicht x² zu erhalten?

Das x das ich hier dann erhalte muss in die Ausgangsfunktion -0,5x^4 + x^3 + 0,5x eingesetzt werden. Dann erhalte ich y.
Ist das so richtig?

6x² + 6x= 0   | x hier bitte ausklammern

x(6x + 6) = 0   | jetzt den Satz vom Nullprodukt anwenden. Daraus folgt direkt das x = 0 oder das x =-1 sein muss.

Okay danke, habe ich verstanden :))

Eine letzte Frage: Bei 2.)

 

2.) Der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades hat in W=(4/4) den Wendepunkt W mit der Wendetangente tw: y = -3x+16 und verläuft durch den Punkt P=(0/0). Wie lautet die Funktionsgleichung?

f(4) = 4
f'(4) = 0
f''(4) = -3    warum 4?
f(0) = 0

 

Vergiss mal das was ich geschrieben habe. Ich habe versehentlich f'(4) und f''(4) vertauscht.

2.) Der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades hat in W=(4/4) den Wendepunkt W mit der 

Wendetangente tw: y = -3x+16 und verläuft durch den Punkt P=(0/0). 
Wie lautet die Funktionsgleichung?

f(4) = 4  || Der Funktionswert im Wendepunkt ist als Punkt vorgegeben
f'(4) = -3  || Die Steigung muss am Wendepunkt der Steigung der Wendetangente entsprechen
f''(4) = 0  || Die Krümmung muss 0 sein weil wir hier einen Wendepunkt haben
f(0) = 0

Die Gleichungen

64a + 16b + 4c + d = 4
48a + 8b + c = -3
24a + 2b = 0
d = 0

Funktion

f(x) = 0,25·x^3 - 3·x^2 + 9·x

Irgendwo muss ein Fehler sein.. Die gleichung sollte lauten:

f (x) = 1/4 x3 − 3x2 + 9x

ah :D dein letztes Kommentar hab ich jetzt übersehn x`DD

So hatte ich es zuerst eh.. Dachte aber ich hab mich vertan xDDD

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