Lösen einer DLG mittels Trennung von Variablen. a) y' = 2xe^{−y} mit (x0, y0) = (2, 0)

Question

Lösen Sie die folgenden DGLn mittels Trennung der Variablen:

i) Finden Sie die allgemeine Lösung.

ii) Machen Sie die Probe für die allg. Löung

iii) Bestimmen Sie die Konstante für das Anfangswertproblem.

iv) Notieren Sie die spezielle Lösung.

a) y' = 2xe^{−y} mit (x₀, y₀) = (2, 0)

b) y' = y/x mit (x₀, y₀) = (−2, 1)

c) y' = 2xy − 6x + y − 3 mit (x₀, y₀) = (0, 2)

Zerlegen Sie die rechte Seite der DGL in zwei Faktoren.

Leider komme ich hier überhaupt nicht weiter :(

Comments

c) vgl. https://www.mathelounge.de/437170/differentialgleichung-losen-y-2xy-6x-y-3

Beachte: Zerlegen Sie die rechte Seite der DGL in zwei Faktoren.

Answer 1

y' = 2xe^−y

dy / dx =  2xe^−y


dy / e^−y  =  2xdx

e^y * dy =  2xdx

Integrieren gibt

e^y     =  x²  + C

e^y    =  x²   +  C

y = ln (   x²   +  C  )  

Probe :

y ' =  2x / ( x² +c )

2x*e^-y =  2x/ e^y = 2x /  (   x²   +  C  )       Passt !

C ausrechnen mit   (x₀, y₀) = (2, 0)  gibt :

0 =   ln (   4  +  C  )   

1 = 4 + C

-3 = C

Also spezielle Lösung    y =   ln (   x²   - 3   )   

Comments

Kannst du mir bitte den Schritt noch erklären?
2x*e^-y =  2x/ e^y = 2x /  (   x²   +  C  )       Passt ! 

Answer 2

zu a)

y '= 2 x e^{-y}

dy/dx=  2 x e^{-y}

e^y dy= 2 x dx

e^y=  x^2+C

y= ln(x^2+C)

Y(2)=0

0= ln(4+C)

1 =4+C

C= -3

y= ln(x^2-3)

Für die Probe leitest Du  y= ln(x^2+C) einmal ab und setzt  y' und y in die Aufgabe ein.

Es muß die linke Seite = der rechten Seite sein.