Gesamtwiderstand zwischen den Punkten A und B der Anordnung mit n Einheiten bestimmen

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Gegeben ist folgendes Schaltbild

Bild Mathematik


Rn sei nun der Gesamt Widerstand zwischen den Punkten A und B der Anordnung mit n Einheiten. Bestimmen sie den Gesamtwiderstand in Abhängigkeit von Rc und Rv für den Grenzfall n →∞.

Gefragt 19 Apr von Gast bh6911

In der Schaltungstechnik werden Leitungsstücke oft durch Widerstandsketten modelliert. Gegeben sei folgende Widerstandskette, mit den Ohmschen Widerständen R >0:

Sei Rn der Gesamtwiderstand der Kette der Länge n

a)

Leiten Sie mit Hilfe der Sätze über Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen die folgende Rekursionsformel für den Gesamtwiderstand Rn her:

Rn+1 =  2R + (1 / (1/R + 1/Rn)) für n > 1

b)

Überprüfensie, ob die Folge (Rn)€N konvergiert und bestimmen sie ggf. den Grenzwert

 

Brauche dringend Hilfe!

Das Minus vor dem 2R ist ein Tippfehler:

D.h  Rn+1 =  2R + (1 / (1/R + 1/Rn)) für n > 1

Habe das MINUS entfernt. Für Mathematikinteressierte ohne Stromkenntnisse gibst du am besten gleich noch die Formel für Parallel- und Serieschaltung an.

Vermutung:

$$\lim_{n \to \infty} R_n=R_c\left(1 +\sqrt{2\frac{R_v}{R_c}+1} \right)$$

EDIT: Habe die unbeantwortete Frage von 2014 hierhin umgeleitet. Kann sein, dass ihr nun beide beantworten könnt ;) ? 

3 Antworten

+1 Punkt

Hallo,

Du kannst das relativ leicht rekursiv berechnen:

(*)

Die hintersten (rechten) drei Widerstände \( R_c, R_v, R_c \) sind seriell geschalten. Berechne den Gesamtwiderstand \( R_{cvc} \).

Dieser ist nun mit dem senkrechten \( R_v \) parallel. Berechne wieder den Gesamtwiderstand \( R_{cvc,v} \).

Nun hast Du einen "Bogen" weniger und weiter geht es mit (*).

Grüße,

M.B.

Beantwortet 20 Apr von MatheMB Experte V
+1 Punkt

Der Gesamtwiderstand für den Fall \(n=1\) ist

$$R_1=2 R_c + R_v$$

Liegt eine Schaltung mit \(n\) 'Bögen' vor, so kann man die gesamte Schaltung parallel zu einem weiteren \(R_v\) mit zwei zusätzlichen \(R_c\) in Reihe schalten und man erhält

$$R_{n+1}=2 R_c + \frac{R_v \cdot R_n}{R_v + R_n}$$

Zur weiteren Betrachtung setze ich \(v=\frac{R_v}{R_c}\) und \(R_n= R_c \cdot r_n\). Nach Einsetzen in die Rekursionsgleichung erhält man

$$R_{n+1}=R_c\left( 2 + \frac{v \cdot r_n}{v+ r_n}\right) \quad \text{bzw.:} \space r_{n+1}=2 + \frac{v \cdot r_n}{v+ r_n}$$

$$\text{mit} \space r_1=2 + v$$

Durch die Bildung der Differenz \(r_{n+1}-r_{n+2}\) kann man nachweisen, dass die Folge monoton fällt. Es ist

$$r_{n+1}-r_{n+2}=\frac{( r_n^2 -2 r_n - 2 v) v^2}{2 r_n^2 (1 + v) + v^2 (2 + v) + r _nv (4 + 3 v)}$$

Diese Differenz ist genau dann größer 0, wenn

$$r_n^2 -2 r_n - 2 v \gt 0 \quad \text{bzw.:} \space r_n > 1 + \sqrt{2v+1}$$

Weiter ist eindeutig, dass \(r_n \ge 2\) ist, da \(v\) und \(r_n\) größer gleich 0 sind. Damit ist bewiesen, dass ein Grenzwert existiert, wenn \(r_n\) obige Ungleichung einhält. Mit der Existenz eines Grenzwert \(r_{\infty}\) muss gelten

$$r_{\infty}=2 + \frac{v \cdot r_{\infty}}{v+ r_{\infty}}$$

Daraus folgt:

$$r_{\infty}=1 + \sqrt{2v+1} $$

was der gleiche Ausdruck ist wie oben!

Die allgemeine Gleichung für den Grenzwert des Gesamtwiderstandes ist demnach wie schon vermutet:

$$R_{\infty}= R_c \cdot r_{\infty} =R_c \left( 1 + \sqrt{2 \frac{R_v}{R_c} + 1}\right)$$

Für den Fall dass \(R_v=R_c=R\) also \(v=1\) ist

$$R_{\infty}=R(1+\sqrt{3})$$ womit die Frage von 2014 auch beantwortet wäre

Gruß Werner

Beantwortet 21 Apr von Werner-Salomon Experte IV
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Anbei meine Überlegungen.
Es wurde ein Beispiel mit
Rc = 2
Rv = 3
Rcvc = 7
R(p) = parallelgeschaltete Widerstände
( siehe Bild )

Bild Mathematik 

R(G) = R ( gesamt )
Für die Beispielwerte ergeben sich
RG ( 1 ) = 7
RG ( 2 ) = 6.1
RG ( ∞ ) = 4

Vom fachlichen her : der Widerstand der parallel
geschalteten Widerstände geht gegen 0.
Übrig bleibt 2 * Rc

Beantwortet 19 Apr von georgborn Experte LXIII

In Deinen Überlegungen nimmst Du an, dass für \(n=3\) der letzte WIderstand \(R_{cvc}\) parallel zum vorletzten \(R_{cvc}=7\) geschaltet ist. Dies ist aber nicht der Fall. Er ist nur parallel zum vorletzten \(R_v=3\) geschaltet. Somit stimmt der Wert ab \(R_3\) nicht mehr.

$$R_1=7$$

und allgemein gilt

$$R_{n+1}=2R_c+ \frac{R_v \cdot R_n}{R_v + R_n}$$ demnach ist hier

$$R_2=4 + \frac{3 \cdot 7}{3 + 7}= 6\frac{1}{10}$$

$$R_3= 4+\frac{3 \cdot (6\frac{1}{10}) }{3 + 6\frac{1}{10}} =6\frac{1}{91} \approx 6,0110$$

$$R_4=4+ \frac{3 \cdot (6\frac{1}{91})}{3 + 6\frac{1}{91}}=6\frac{1}{820} \approx 6,0012$$

siehe auch mein Kommentar oben

Ich denke mittlerweile auch das mein Schaltbild
schon nicht  stimmt.

Mittlerweile habe ich auch heraus
bei n gegen unendlich ist R = 6

Nach mehr hat der Fragesteller nicht gefragt.

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