Sind die Mengen gleich? (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ ( A ∩ B)

Question

ich sitze hier jetzt schon was länger an einer Matheaufgabe, jedoch komme ich nicht auf das gewünschte Ergebnis. Ich soll zeigen, ob folgende Mengen gleich sind:

(A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ ( A ∩ B)

Ich habe mir das anhand eines Beispiels verdeutlicht. Daraus hat sich für mich ergeben dass die Mengen gleich sind.

Das ist mein aktueller Lösungsansatz, jedoch komme ich nicht auf die rechte Seite, der Fehler sollte eigentlich nicht allzu groß sein, oder ich übersehe eine einfache Umformung. Ich habe damit schon ein bisschen gespielt und mithilfe der De Morganschen Gesetze versucht die Zeichen umzudrehen aber das hat mich bisher auch nicht weiter gebracht.

Vielleicht kann mir jemand von euch einen Tipp geben was ich jetzt wie umformen muss dass ich auf die geforderte Lösung komme.

Answer 1

Kannst ja auch so anfangen:

Sei x aus (A\B) ∪ (B\A) .

1, Fall  x aus A\B

Dann gilt x aus A , also auch x aus A∪B

und  x nicht aus B, also x nicht aus A∩B,

Insgesamt also x aus A∪B  und x nicht aus A∩B,

also x aus ( A∪B) \ ( A∩B ) .

2. Fall x aus B\A  

entsprechend.

Dann umgekehrt:

Sei x aus   ( A∪B) \ ( A∩B )

Also x aus A∪B.

1. Fall   x aus A , dann x aus A \ B, x nicht aus B

wegen x nicht aus  A∩B , aber x aus A.

Also x in A\B.

2. Fall  x aus B .....

Comments

Dank dir! Auf die Idee der Fallunterscheidung bin ich gar nicht gekommen, hab zwanghaft versucht durch eine äquivalenzumformung darauf zu kommen. so habe ich das jetzt auch verstanden denke ich :) vielen dank dafür

rein theoretisch muss das aber auch irgendwie mit äquivalenzumformung gehen oder nicht? das lässt mir jetzt trotzdem keine ruhe

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Äquivalenzumformung geht wohl auch, wird aber vielleicht was lang, ich versuch mal:

Deine letzte zeile was abzukürzen mit  a für x ∈ A und  ¬a für das Gegenteil:

            ( a ∧ ¬b ) v (  ( b ∧ ¬a )     Distributiv
<=>     ( (a ∧ ¬b ) v b )  ^ (  ( a ∧ ¬b ) v ¬a )   wieder Distributiv
<=>     ( (a v b ) ∧ ( ¬b v b ) )   ^ (  ( a v ¬a  )  ∧ ( ¬b  v ¬a ) )

jetzt weiß man noch   ( ¬b v b ) = 1  ( also immer wahr )  gibt

<=>     ( (a v b ) ∧ 1)   ^ (  (¬b v ¬a  )  ∧  1 )

UND-Verbindung mit 1 , da kann man die 1 weglassen

<=>      (a v b )   ^    (¬b v ¬a  )    Bingo !


       

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aah top! ich danke dir für deine mühen :)