Wie vereinfacht man Wurzelterme? 2√(2+√3)

Question

Wie vereinfache ich diesen Wurzelterm?

2√(2+√3)=

Als Ergebnis soll rauskommen: √2 + √6, aber wie kommt man darauf????

Answer 1

Hi,

versuche eine binomische Formel hinzubekommen. Ein bisschen probieren.

2+√3 = 1/2+2/2*√3+3/2 = 1/2(1+2*√3+(√3)^2) = 1/2*(1+√3)^2

Also

2√(2+√3) = 2√(1/2*(1+√3)^2) = 2√(1/2)*√((1+√3)^2) = √(2)(1+√3) = √2 + √6

Grüße

Answer 2

Hallo ie,

es geht auch ohne Probieren nach "Schema F" :  

 Für A≥0 ist  √A  die nichtnegative Lösung der Gleichung  x² = A

[   √A = B  ⇔  A≥0 und B≥0  und  B² = A  ] 

√(2+√3) = 1/2 * (√2 + √6)  ? 

2+√3  und  1/2 * (√2 + √6)  sind offensichtlich ≥ 0   und es gilt:  

[ 1/2 * (√2 + √6) ]²  = 1/4 * (2 + 2*√2*√6 + 6) = 1/4 * (8 + 2*√12) 

   = 1/4 * ( 8 + 2 * √(3*4) ) = 1/4 * (8 + 2*2*√3) = 1/4 *(8 + 4*√3)

   = 2 + √3

Gruß Wolfgang

Comments

Naja, wenn man weiß wo man hin will, muss man natürlich nicht probieren ;).

Ich ging hingegen davon aus, dass das Ergebnis nicht bekannt ist. Dann kann man "iwie" auf die binomische Formel kommen. Da habe ich natürlich gezielt probiert und nicht wahllos.

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Ich wollte dem FS nur einen Weg aufzeigen, wie man √A = B  durch einfaches Nachrechnen zeigen kann.

Mit "gezielt probieren" ist das halt bei weniger Geübten immer so eine Sache. 

Aber du hast recht: Ohne Kenntnis des Ergebnisses - und davon ist bei genauem Lesen der Aufgabenstellung wohl auszugehen - ist Kreativität gefragt. 

Answer 3

Um die äußere Wurzel zu verrechnen, habe ich habe ich den Radikand in ein Quadrat verwandelt. Dazu habe ich zunächst den Faktor 2 unter die Wurzel gezogen und dann auch die erste binomische Formel verwendet:

$$ 2 \cdot \sqrt { 2 + \sqrt { 3 } } = \\\,\\ \sqrt { 8 + 4\cdot\sqrt { 3 } } = \\\,\\ \sqrt { 2 + 2\cdot\sqrt { 2 }\cdot\sqrt { 2 }\cdot\sqrt { 3 } + 6 } = \\\,\\ \sqrt { 2 + 2\cdot\sqrt { 2 }\cdot\sqrt { 6 } + 6 } = \\\,\\ \sqrt { \left( \sqrt { 2 } + \sqrt { 6 } \right)^2 } = \\\,\\ \sqrt { 2 } + \sqrt { 6 }.$$

Answer 4

Wenn die Lösung nur noch zu bestätigen ist, geht man von 2√(2+√3)=√2 + √6 aus und bestätigt das durch Quadrieren. Wenn schon bekannt ist, dass die Summe zweier Wurzeln heraukommt, quadriert man den Ansatz 2√(2+√3)=√a + √b und erhält zwei Bestimmungsgleichungen für a und . Ohne Vorkenntnisse oder Annahmen zur Lösung kann man vermutlich nichts Originelles herausbekommen.