Question

Beweisen Sie nur mit Hilfe der Körperaxiome für ℝ:

Zu jedem x ∈ R \ {0} existiert ein eindeutiges Element y mit xy = 1.

Nennen Sie dabei die Axiome, die Sie benutzen. 

Answer 1

Hier zwei Axiome des Körpers der reellen Zahlen bezüglich der Multiplikation:
-Existenz des neutralen Elements
- Existenz des inversen Elements zu jedem Element.

Bastel dir nun selber einen Beweis zusammen.

Comments

(Inverses Element der Multiplikation) Zu jedem x ∈ R \ {0} gibt es z ∈ ℝ mit x · z = 1.

Es zeigt sich, dass z eindeutig bestimmt ist; man schreibt z = x^-1, oder z = 1/x .

Eindeutigkeit:

Wir nehmen an, dass es noch ein weiteres inverses Element y' existiert, so dass x*y'=1.

Wir zeigen mit den Assoziativ- und Kommutativgesetz, dass gelten muss y=y'

x*y'=1 // Multiplikation von y

y*x*y'=y*1 // Kommutativgesetz

(x*y)*y'=y // Assoziativgesetz

1*y'=y

y'=y

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Jap. Sieht doch noch ganz okay aus.