Epsilon. Sei ϵ > 0. Gesucht n0, so dass für alle n > n0 gilt: |(3n+2)/(5n+7) - 3/5| < ∈. Nur Ansätze bitte

Question

in der Analysis habe ich folgende Aufgabe, die ich nicht lösen kann:

Sei ϵ > 0. Finden Sie ein n0 ∈ N, so dass für alle natürlichen Zahle n > n0 gilt:

|(3n+2)/(5n+7) - 3/5| < ∈

Meine Überlegungen/Ansätze:

- unendlich für n eingesetzt und gemerkt, dass es gegen 0.15 läuft.

- Gleichung vereinfacht, kein Erfolg

- Widerspruch angenommen, da Gleichung links gegen 0.15 läuft, könnte man stets ein kleineres ∈ wählen.

Ich möchte bitte nicht, dass ihr die Aufgabe löst sondern mir Ansätze bzw. Hinweise gebt. Ich will es versuchen selber zu schaffen aber sitze seit Stunden an der Aufgabe fest und mir gehen die Ideen aus.

Comments

Wenn du nur einen Blick auf die "ähnlichen Fragen" wirfst, kann das mit den Hinweisen gut gemeint sein. 

Du findest auf jeden Fall https://www.mathelounge.de/164838/grenzwert-sei-%CE%B5-0-finden-sie-ein-n0-sodass-fur-n%E2%89%A5n0-gilt-3n-2-5n 

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Ok habe mir ein Account angelegt. Das ist komisch. Genau das gleiche Ergebnis habe ich auch raus, aber wenn ich dann werte für Epsilon eingesetzt habe, schien mir das falsch zu sein.

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n > 0.44/e - 1.4

Es geht um den Nachweis der Konvergenz einer Folge. 

Bsp. Du hast für Epsilon wie übliche eine "kleine" Zahl (kleine Umgebung vom Grenzwert) gewählt? z.B. e = 0.001 ? 

0.44/0.001 - 1.4 = 438.6 

Also n0 = 438.

Ab n=439 sollte das stimmen. 

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Setze Epsilon auf 0,0001. 

Dann müsste laut: n > 0.44/e - 1.4

n > -0.38599877182

Das heißt die nächste natürliche Zahl ist 1:

Setzte 1 in die Anfangsgleichung ein und erhalte:

0.183333 < 0.0001

was ein Widerspruch ist. 

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Was hast du denn mit den 0.0001 gemacht ? 

0.44/0.0001 - 1.4 

=  4400/00001. - 1.4

= 4400 - 1.4  

= 4398.6

Ich hatte oben übrigens 0.001 gewählt. 

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Ok, jetzt merke ich, dass ich wahrscheinlich bei meiner Lösung im Googlerechner vermutlich falsche Klammern gesetzt habe, jetzt bekomme ich das richtige raus. Danke dir lu

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Bitte gern geschehen.

Wenn's zu viele E-Mails werden hier https://www.mathelounge.de/options Benachrichtigungen ausschalten. 

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Nur so als Hinweis: Es ist nicht noetig, dass \(n_0\) minimal angegeben wird. Entsprechend steht in der Aufgabe auch: "Finden sie ein \(n_0\in\mathbb{N}\), ..."

Man darf grosszuegig nach oben abschaetzen und erst am Ende \({}<\epsilon\) setzen, z.B. $$\lvert\ldots\rvert=\frac{11}{5}\cdot\frac{1}{5n+7}<3\cdot\frac{1}{5n}<\frac{1}{n}\stackrel{!}{<}\epsilon.$$ Man kann also auch \(n_0=\left[\frac{1}{\epsilon}\right]\) als Lösung angeben.

Answer 1

" Ansätze bzw. Hinweise  " 

Vereinfache das Innere des Betrags zu einer der alternate forms hier (Bruchrechnung):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(3n%2B2)%2F(5n%2B7)+-+3%2F5 

Dann wieder Betragsstriche darum schreiben und die Ungleichung hinschreiben. Betragsstriche und das Minus kannst du gleichzeitig entfernen.  Nun hast du nur noch eine Unbekannte n  und kannst die Ungleichung problemlos nach n auflösen.