Ungleichung mit vollständiger Induktion zeigen: Für n ≥ 5 gilt 3^n > 7n^2

Question

Ich komme bei folgender Aufgabe einfach nicht weiter:

Für alle n ≥ 5 gilt: 3^n > 7n^2

Induktionsanfang mit n = 5:

243=3^5 > 7*5^2=175

Induktionsschritt:

3^{n+1}>7*(n+1)^2

3^n*3 > 7n^2+14n+7

Ab hier komme ich nicht mehr weiter. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.

Answer 1

Hallo dh,

3ⁿ⁺¹  =  3 * 3ⁿ   >_IndVor   3 * 7n²  =  7n² + 7n² + 7n²  =   7n² + 7n * n  + 7n² 

                    >_n≥5   7n² + 14 * n + 7  =  7 * (n² + 2n + 1)  =  7 * (n+1)² 

Gruß Wolfgang 

Answer 2

Du brauchst einen Hilfssatz (gegebenenfalls gesondert beweisen): 3ⁿ+3ⁿ>14n+7 für n≥2.

Beginne mit 3ⁿ > 7n² (Indultionsvoraussetzung). Addiere den Hilfssatz

                 3ⁿ+3ⁿ>14n+7

Erhalte 3ⁿ+3ⁿ+3ⁿ>7n²+14n+7

Forme um zu 3ⁿ⁺¹ > 7(n-1)² (Induktionsbehauptung).

Answer 3

du weißt aus der IV, dass

$$3^n>7n²$$ ist.

Daraus folgt $$3^{n+1}=3\cdot3^n>21n²$$.

Du willst aber zeigen, dass $$3^{n+1}$$ größer ist als 7n²+14n+7.

Das ist in dem Moment gezeigt, wenn du nachweisen kannst, dass 21n²>7n²14n+7.