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Aufgabe:

Sei (G, *) eine Gruppe. Eine Untergruppe von (G, *) ist eine Teilmenge von U ⊆ G, die selbst eine Gruppe bezüglich der Verknüpfung * ist.

Zeigen Sie, dass U ⊆ G genau dann eine Untergruppe von (G, *) ist, wenn U ≠ ∅ und für alle a, b ∈ U auch a*b^{-1} ∈ U gilt, wobei b^{-1} das inverse Element bezüglich * in G ist.

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Sei U ⊆ G und  U ≠ ∅ und

# für alle a,b aus U ab-1 aus U

Da U ≠ ∅  gibt es ein a ∈ U dann ist  aa-1 aus U,

also das neutrale Element e ∈ U.

Sei nun  a ∈ U dann ist  ea-1 = a-1 ∈   U.

Also zu jedem a auch das Inverse von a aus U.

Fehlt noch: Abgeschlossenheit:

Seien a,b ∈ U  dan  ist ( s.o.) auch c=b-1 ∈ U

und wegen # auch

a*c-1 ∈ U     also   ab ∈ U .      q.e.d.

 




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