Wendetangente bei Kurvenschar fa (x)=1/4 *(x^4-ax^2)

Question

fa (x)=1/4 *(x^4-ax^2)

a) Der Parameter a soll so gewählt werden, dass der Graph bei x=1 einen Wendepunkt hat. Wie lauten die Koordinaten des zweiten Wendepunktes?

Meine Wendepunkte :

Ich habe dann 1 mit - Wurzel  von (1/6 *a ) gleichgesetzt und kam auf n.l. weil wenn ich ich  a=6 einsetzte --> 1=-1

Und dann habe ich 1= + Wurzel (1/6 a) und da kam ich dann auf a=6

Und der Wendepunkt wäre dann W (1/ -5/4)

b)Stellen sie die Gleichungen der Wendetangenten von f1 auf.

fa'(x)=1/4*(4*x^3-2ax)

f1'(-Wurzel 1/6 *a)= ?    =m

tw:  y=mx+n

tw: -5/144* a^2= ? *(-Wurzel (1/6*a)) +n

Habe ich was falsch gemacht?

:-)

Comments

Vergleiche mal mit: https://www.mathelounge.de/113249/parameter-der-kurvenschar-fa-ax-damit-eine-wendestelle-ist

Findest du deinen Fehler selber?

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Den Beitrag habe ich schon gesehen, aber nicht ganz verstanden.

Also die erste Ableitung ist kürzer,  weil 1/4 schon multipliziert wurde.
Meine Wendepunkte müssten aber eigentlich richtig sein, weil wir die so schon in der Schule hatten. :(

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a) als Bild 

Answer 1

Also Wendepunkte heißt doch zweimal ableiten:

f(x)=1/4 x^4 -1/4 a x^2

f'(x) = x^3 -1/2 a x

f'' (x) = 3 x² - 0,5 a

2. Ableitung Null setzen und für x=1 setzen: 0 = 3 - 0,5a, also a=6

Somit lautet die Funktion: f(x) = 1/4 (x^4 - 6x²)

f(1) = 1/4(1-6) = -5/4, also W(1; -5/4)

Bestimmung der Wendetangente:

Den Punkt W habe ich und durch die erste Ableitung erhalte ich die Steigung:

Also: f' (x) = x^3 - 3x -> f' (1) = 1 - 3 = -2 = m

y = m x + n

Aus W und m erhalte ich die Gleichung: - 5/4 = -2 +n -> n = 3/4

Wendetangente: y = - 2x + 3/4

Achso, den 2. Wendepunkt erhältst du, indem du noch die 2. Lösung der 2. Ableitung ermittelst:

f'' (x) = 3x² - 3

Wenn du f'' (x) = 0 setzt, hast du die Lösungen x₁ = 1 und x₂= -1

Comments

Die Wendepunkte hatte ich allgemeinen gerechnet gehabt und dann geguckt, was ich einsetzten müsste, damit der x-Wert 1 ist.

Mein Punkt W ist aber der gleiche.

Warum ist f'_a(x)= x³ -3x?

,,f' (x) = x³ - 3x -> f' (1) = 1 - 3 = -2 = m "

 müsste es nicht so sein 

--> f'_a (x )=x³ -1/2*a*x  ?

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Du musst für a=6 einsetzen. f' (x) = x³ - 0,5 a x

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b) bezieht sich aber glaube nicht auf a=6

Sondern a=1

weil die Wendepunkte von f_{1 sein sollen} 

Answer 2

a.)
fa (x)=1/4 *(x⁴-ax²)
fa ´( x ) = 1/4 * ( 4 * x^3 - 2 * a * x )
fa ´´ ( x ) = 1/4 * ( 12 * x^2 - 2 * a  )
fa ´´ ( 1 ) = 1/4 * ( 12 * 1^2 - 2 * a  )
1/4 * ( 12 * 1^2 - 2 * a  ) = 0
a = 6

f₆ (1)=1/4 *( 1⁴-6*1² )
W ( 1 | - 5 / 4 )
Die Funktion ist symmetrisch zur y-Achse
Der andere Wendepunkt ist somit
( -1 | - 5 / 4 )

b) Stellen sie die Gleichungen der
Wendetangenten von f1 auf.
f₁ (x)=1/4 *(x⁴-x²)
f₁ ´( x ) = 1/4 * ( 4 * x^3 - 2  x )
f₁ ´´ ( x ) = 1/4 * ( 12 * x^2 - 2  )

1/4 * ( 12 * x^2 - 2  ) = 0
12 * x^2 - 2 = 2
x^2 = 1 / 6
x = 1 / √ 6
Steigung an der Stelle ausrechnen
f₁ ´( 1 / √ 6 ) = 1/4 * ( 4 * (1 / √ 6)^3 - 2 *( 1 / √ 6) )
f1 ´ = - √ 6 /  18
Funktionswert an der Stelle bestimmen
f₁ (1 / √ 6)=1/4 *((1 / √ 6)⁴-(1 / √ 6)²)
f1 = - 5 / 144

- 5 / 144 = ( - √ 6 /  18 ) * (1 / √ 6) + b
b = 1 / 48

t ( x ) =  ( - √ 6 /  18 ) * x + 1 / 48

Bitte alles überprüfen.
Bei Bedarf melden.

Comments

bei f₁'(1/√6) kommt bei mir was anders raus (-3+√6)/36 also ≈-0,01529

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Du hast bei den Ableitungen nicht berücksichtigt, dass a=6 ist, wie du ja auch selbst ausgerechnet hast. Deshalb ist der Teil b) falsch.

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mein matheprogramm

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Hallo robinson,
in der Frage b.) hieß es
Stellen sie die Gleichungen der Wendetangenten
von f1 auf. Also
a = 1

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Ich weiß nicht, warum bei mir vorher was anders raus gekommen ist, aber jetzt komme ich auf das selbe Ergebnis.

Danke georgborn,

 für ihre Hilfe ☺

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Gern geschehen.
Falls du weitere Fragen hast dann stelle
sie wieder ein.

Answer 3

Zu a) f_a''(x)=1/2(6x²-a). Das hat für a=6x² eine Nullstelle. Wenn dann x=1 ist, ist a=6.

         f₆''(x)=1/2(6x²-6) Davon die Nullstellen x=±1. Der andere Wendepunkt liegt bei x=-1