Geometrische Reihe berechnen mit Variable. Summe (1/2)^{k+1} * (x+1)^k

Question

Für welche $${x}$$ gilt $$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  } ^{ k+1 }\quad \cdot \quad (x+1)^{ k }\quad =\quad -\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \left( \frac { 1 }{ x }  \right)  } ^{ k }$$ ?

(Ansatz: Berechne beide Summen als geometrische Reihe!)

Answer 1

$$ \sum_{k=0}^{\infty}{ (\frac { 1 }{ 2 } })^{ k+1 }\cdot{ (x+1) }^{ k }=\frac { 1 }{ 2 }\sum_{k=0}^{\infty}{ (\frac { 1 }{ 2 } })^{ k }\cdot{ (x+1) }^{ k }=\frac { 1 }{ 2 }\sum_{k=0}^{\infty}{ (\frac { x+1 }{ 2 } })^{ k }$$

Das ist eine geom. Reihe mit q = (x+1)/ 2 also

= (1/2) *  (  1 /  1 - q )  =  (1/2) * 1 / ( 1  - (x+1)/2 )
=   (1/2) * 1 / ( (1  - x) /2 )
=   (1/2) * 2 / (1  - x)
= 1 / ( 1-x) .

Das andere ist (mit einem minus davor ) die geometrische Reihe

mit q = 1/x , allerdings beginnt sie nicht bei 0, sondern bei 1, (du muss also

noch 1 subtrahieren  ) also   ist das    -  (    1 / ( 1 - (1/x) )          -  1    )

=   -  1 / ( 1 - (1/x) )    +  1

=  -  1 / (   (x-1) /x )   + 1

=  - x / (x-1 )      +  1

= (- x + (x-1) ) /  ( x-1 )

=  -1 / ( x-1 )

= 1 / ( 1-x)    Bingo !