Frage zur Anwendung des L'Hospital

Question

ich hätte eine Frage bezüglich dieses Grenzwertes.

Diese lautet wie folgt:

lim x->0  (ln(sin(x)))/(ln(sin(2x)))

Meine Frage lautet, wie ich richtig beweisen kann, dass ich hier den l'hospital anwenden darf.

Normalerweise, setzt man ja den Grenzwert, in die Zähler und Nenner Funktion und schaut, ob sich ein 0/0 oder inf/inf ergibt.

Hier würde jedoch der Fehler auftreten, weil der ln von 0 nicht definiert ist, oder verstehe ich da etwas falsch? :/

Answer 1

Hallo JD,

lim_x→0 ln(sin(x)) 

> Hier würde jedoch der Fehler auftreten, weil der ln von 0 nicht definiert ist, oder verstehe ich da etwas falsch? 

Hier ergibt sich tatsächlich ein Problem, aber nicht weil ln(x) in x=0 nicht definiert ist, sondern weil die Funktion für negative Zahlen nicht definiert ist.

z.B.  lim_x→0  ln(x^2) = - ∞  [ Argument x^2  → 0+  ,  → ln(Argument) → - ∞ ]

Aber:  

lim_x→0+ ln(sin(x)) = - ∞    (rechtsseitiger Grenzwert) 

                       [ Argument sin(x)  → 0+  ,  → ln(Argument) → - ∞ ]

lim_x→0-  ln(sin(x))  existiert nicht, weil sin(x) in einer "halbierten" ε-Umgebung ] -ε , 0 [ 

                    von x negativ und der ln deshalb dort nicht definiert ist.

                       [ Argument  sin(x) → 0- , →  ln(Argument) ist  nicht definiert ] 

Gruß Wolfgang