Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinanten

Question

Zu zeigen ist, dass    ∏ⁿ_k=1 λ_k = det(A)

Ich habe schon gesehen, dass man das über einen Koeffizientenvergleich machen kann, den ich jedoch nicht verstehe.

Meine Idee wäre, dass man Zeigt, dass das det(J) = det(A)  (J: Jordansche Normalform von A).

Also:  ∏ⁿ_k=1 λ_k  = det(J) = det(A)  falls A und J ähnliche Matrizen sind.

Stimmt das so?

Comments

A ist vermutlich eine nxn-Matrix? Welcher Körper wird verwendet?

Machst du da nicht aus einer Mücke einen Elefanten?

Du musst ja erst die Jordansche Normalform von A bestimmen. Dann (wegen dem "falls") offenbar noch überprüfen, ob A und J zueinander ähnlich sind.

Beweis nach deiner ersten Methode( Seite 2-3 im Link): sieht relativ simpel aus: http://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Lineare_Algebra/Folien_Summe_und_Produkt_von_Eigenwerten.pdf

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In der Tat handelt es sich um eine nxn Matrix aus dem Reellen Raum.

Da jede nxn-Matrix eine Jordan Normalform besitzt, besitzt auch A eine. Daraus folgt, dass A = B*J*B^-1              und A und J ähnlich sind.

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Müsste es dann nicht heissen:

" Also:  ∏ⁿ_k=1 λ_k  = det(J) = det(A)  weil A und J ähnliche Matrizen sind. "

? 

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Ja im gesamten. Das war nur der beweis für die Ähnlichkeit von A und J.