+1 Daumen
2,9k Aufrufe

ich verstehe meine Mathe Übgung nicht: 

Sei A eine endliche Menge und F : A -> A eine Funktion

Für alle a ∈ A sei F0(a) := a und fi(a) := f(fi-1(a)) für i∈Ν. zeigen Sie,dass folgende Aussage äquivalent sind:

(a) f ist injektiv

(b) f ist surjektiv

(c) Es gibt ein i∈N mit fi=f0

welche der sechs Implikationen gelten auch, wenn A unendlich ist?

was ist die sechs Implikationen und wie zeige ich es?

Avatar von

was ist die sechs Implikationen?

a ==> b

b ==> a

a ==> c

c ==> a

b ==> c

c ==> b

 und wie zeige ich es?

Es genügt, wenn du im Kreis rum beweist. D.h. z.B. 

a ==> b, b ==> c und c ==> a. 

ich habe fast die gleiche frage und würde gern wissen:

f0 (a) = a wäre ja schon mal bijektiv  und fi ist zu untersuchen?


f(fi - 1(a)) = f(f0(a)) = f(a)  

fi - 1(a) = f0(a) = a

fi -1 = f0

i-1 = 0 → i = 1


Ist das so gemeint, wenn die Initialisierung mit f0 beginnt, dann ist

f1 (a) = f(f0(a)) = f(a) ↔ f1 = f (a)

f2 (a) = f(f1(a)) = f(f(a))  ↔  f2 = (f ° f) (a)

f3 (a) = f(f2(a)) = f(f(f(a)))  ↔  f= ((f ° f)° f ) (a)   usw....   ??

Gut, dass du nachfragst.

Sollen das alles kleine f mit und ohne Index  sein (?)

" Sei A eine endliche Menge und f : A -> A eine Funktion

Für alle a ∈ A sei f0(a) := a und fi(a) := f(fi-1(a)) für i∈Ν. " 

Ist das so gemeint, wenn die Initialisierung mit fbeginnt, dann ist

f(a) = f(f0(a)) = f(a) ↔ f= f (a)

f(a) = f(f1(a)) = f(f(a))  ↔  f= (f ° f) (a)

f(a) = f(f2(a)) = f(f(f(a)))  ↔  f= ((f ° f)° f ) (a)   usw....   ?? 

Richtig.

und irgendwann kommt gemäss c) wieder die konstante Funktion vor, wenn die Funktion f injektiv oder surjektiv war.

Der Unterschied zu https://www.mathelounge.de/383990/wenn-g-o-f-surjektiv-injektiv-ist-dann-ist-f-g ist wohl, dass bei dir die Grundmenge nicht endlich ist. - Oder überlese ich dort etwas? Du hast dort auch nicht einfach A -> A -> A....

ich beschäftige mich zurzeit mit der gleichen Aufgabe wie der Fragesteller und weiß nun, dass es genügt (a)=>(b), (b)=>(c), (c)=>(a) zu zeigen.

Allerdings stehe ich dabei vollkommen auf dem Schlauch, wie ich das angehen sollte und es wäre toll, wenn mir dabei irgendwer helfen könnte :/

Vom Duplikat:

Titel: Abbildung Injektiv und Surjektiv. X eine endliche, nicht leere Menge. Gegeben ist f: X-> X.

Stichworte: endliche,menge,surjektiv,injektiv,abbildung,bijektiv

ich stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch und finde den Ansatz des Beweises nicht.

Aber erstmal die Aufgabe: Sei X eine endliche, sowie nicht leere Menge. Gegeben sei die Abbildung f: X-> X. Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

f ist injektiv , f ist surjektiv, f ist bijektiv.

Mit ist klar, dass folgendes zeigen muss:

Aus f ist injektiv folgt f ist surjektiv, genauso wie aus f ist surjektiv folgt f ist injektiv. Die Bijektivität folgt dann ja direkt aus der Tatsache, dass f surjektiv und injektiv ist.

Die Definitionen von Injektivität und Surjektivität sind mehr ebenfalls bewusst.

Wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir ein wenig auf die Sprünge helfen könntet! :)

Diese Aufgabe findest du bereits hier:

https://www.mathelounge.de/384640/endliche-funktion-surjektiv-injektiv-bijektiv-aquivalenz 

Entscheidend ist, dass X endlich ist. Sowohl injektiv als auch surjektiv bedeutet (anschaulich) bei endlichen Mengen, dass die Ausgangangsmenge und die Zielmenge gleich viele Elemente enthalten.

Das hilft mir leider gar nicht :/

Könnte es vlt. noch mal jemand ganz einfach erklären, so dass ich es auch verstehe? Es reicht mir auch in Worten :)

Vom Duplikat:

Titel: Injektiv, surjektiv, bijektiv und bijektiv sind äquivalent für endliche Grundmenge X. Beweis?

Stichworte: surjektiv,injektiv,endliche,menge,funktion

Kann mir einer den Beweis vorführen danke voraus 2075BC9A-019F-46F1-BE17-2D0404E18E7F.png

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Die sechs Implikationen sind

  1. (a) ⇒ (b)
  2. (b) ⇒ (a)
  3. (a) ⇒ (c)
  4. (c) ⇒ (a)
  5. (b) ⇒ (c)
  6. (c) ⇒ (a)

> zeigen Sie,dass folgende Aussage äquivalent sind

Dazu genügt es zu zeigen

  1. (a) ⇒ (b)
  2. (b) ⇒ (c)
  3. (c) ⇒ (a)

Dann gilt nämlich zum Beispiel auch (b) ⇒ (a), wegen (b) ⇒ (c) ⇒ (a).

> wie zeige ich es

Überlege dir, bei welchem Beweis du die Endlichkeit von A ausgenutzt hast. Das ist dann ein Hinweis drauf, was bei unendlichem A eventuell nicht mehr gilt.

Avatar von 105 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community