Gilt lim n→∞ (an + bn) = c für ein c ∈ ℝ, so sind sowohl (an)n∈ℕ als auch (bn)n∈ℕ konvergent?

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Aufgabe:

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Es seien  (an)n∈ℕ,(bn)n∈ℕ  Folgen. Gilt limn→∞ (an + bn) = c für ein c ∈ ℝ, so sind sowohl (an)n∈ℕ als auch (bn)n∈ℕ konvergent.  

Ich weiß leider gar nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll. Muss ich hierfür mit diesem c arbeiten oder kann ich das c außen vor lassen? Das c ist ja der Grenzwert von an + bn, , aber wie gehe ich von dort aus weiter vor um zu beweisen, dass an und bn konvergent sind?

Danke schon mal für die Antworten!

Gefragt 18 Mai von anna10002

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo,

nimm für \( (a_n) \) irgendeine divergente Folge, für \( (b_n) \) das negative davon.

Grüße,

M.B.

Beantwortet 18 Mai von MatheMB Experte V

also ist der Grenzwert 0 und es konvergiert

+1 Punkt

Tipp: Suche ein Gegenbeispiel . 

Kennst du eine Folge, die nicht konvergiert? Wenn ja: Welche? 

Beantwortet 18 Mai von Lu Experte CI

Ohje, da fällt mir im Moment kein Gegenbeispiel ein. Aber kann ich das nicht einfach ohne Beispiel zeigen?

Ein Gegenbeispiel anzugeben ist in der Regel das einfachste, wenn du eine Behauptung widerlegen sollst.

Du kennst gar kein nicht konvergente Folge? 

Doch, an = (-1)ist eine nicht konvergente Folge, aber ich weiß nicht wie ich damit vorgehen soll.

Gut. Jetzt noch eine Folge b_(n), die in der Summe mit deiner Folge dann konvergiert, weil z.B. immer 2 rauskommt. 

Das funktioniert doch gar nicht, da ich für an dann keinen Grenzwert habe?

Was ist denn mit bn:= 2 - (-1)^n ? 

Und nun die beiden addieren für cn  ? 

Tut mir leid, aber ich versteh es im Moment überhaupt gar nicht!

cn = an + bn = (-1)^n + (2 - (-1)^n) = ? 

Also wenn ich jetzt zum Beispiel für an=n und für bn = -n nehme, dann kommt bei an+bn = 0 raus, d.h. das 0 c ist und konvergent ist oder?

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