Grenzwert. Lim_x->2 (x^3-x^2-x-2)/(x^4-2x^3+x^2-x-2)

Question

meine lehrerin bekommt eine andere lösung?

Lim_x->2 (x³-x²-x-2)/(x⁴-2x³+x²-x-2)

Ich würde das mit l'hospital machen, weil der zähler gegen 0 geht und der nenner auch gegen 0 geht. Und dann die Ableitung getrennt bilden es wieder gegen 2 streben lassen und dann würde 7/11 rauskommen (laut wolframalpha)

Doch meine lehrerin will das ohne Ableitung haben (also darf ich kein l'hospital anwenden)

Sie macht das so:

lim_x->2  (x(x²-x-1)-2))/(x(x³-2x²+x-1)-2))

Und dann kürzen sich die ausgeklammerten x'en weg und es bleiben:

lim_x->2 (x^2-x-3)/(x^3-2x^2+x-3) und das wieder gegen 2 laufen lassen, kommt -1/-1 = 1?

Ich hab das so gemacht mit hospital und kam dasselbe wie wolframalpha sie hat mir nur 5p gegeben? Welches ist richtig?

Comments

Vielleicht hast du die Aufgabe falsch abgeschrieben (?)

Ansonsten hast du ja schon hilfreiche Antworten :)

Answer 1

Deine Lehrerin kürzt aus einer Summe. Das darf sie nicht. 

Sei hat verkehrt gerechnet. Man kann (x - 2) ausklammern.

(x^3 - x^2 - x - 2) / (x^4 - 2·x^3 + x^2 - x - 2)

= ((x - 2)·(x^2 + x + 1)) / ((x - 2)·(x^3 + x + 1))

= (x^2 + x + 1) / (x^3 + x + 1)

nun 2 einsetzen

= (2^2 + 2 + 1) / (2^3 + 2 + 1) = 7/11

Wenn man es richtig macht kommen auch 7/11 heraus.

Comments

Sie ist doktor in Mathematik. Sie hat mir 5 Punkte gegeben obwohl ich 7/11 raus hatte? 

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Hm. Dann geh zum Rektor. Und alleine für das Ausklammern und Kürzen sollte der Doktortitel nachträglich aberkannt werden ;)

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Die Das würde ich auch sagen. Ich studiere. 

Answer 2

Hallo Integraldx,

(x³-x²-x-2) / (x⁴-2x³+x²-x-2) =  (x - 2)·(x^2 + x + 1) / [ (x - 2)·(x^3 + x + 1) ]

=   (x^2 + x + 1) / (x^3 + x + 1)   →_x→2      7/11

_{Gruß Wolfgang}

Answer 3

Hi, ohne die Regel von de l’Hospital bekomme ich

$$ \lim_{x\to 2} \frac { x^3-x^2-x-2 }{ x^4-2x^3+x^2-x-2 } = \\\,\\ \lim_{x\to 2}{ \frac { (x-2)(x^2+x+1) }{ (x-2)(x^3+x+1) } } = \\\,\\ \lim_{x\to 2}{ \frac { x^2+x+1 }{ x^3+x+1 } } = \frac { 7 }{ 11 }.$$