Lokale Extremstellen. F(x1,x2)=10·x1+59·x2

Question

Die Funktion 

F(x1,x2)=10·x1+59·x2

besitzt unter der Nebenbedingung 

1·x12+4·x22=4

zwei lokale Extremstellen. Bezeichne (a1,a2) jene Extremstelle, in der F den größeren Wert annimmt, und (b1,b2) jene Extremstelle, in der F den kleineren Wert annimmt.

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

a. Es gilt |a1|=0.32.b. Keine der anderen Antwortmöglichkeiten trifft zu.c. Es gilt |a2|=0.47.d. Der Lagrange-Multiplikator beträgt |3.90|.e. Es gilt F(a1,a2)=-62.30

Answer 1

Hallo sugarcane,

ich schreibe x für x₁ und y für x₂ , a  für λ      ( rechnerfreundlich :-) )

F(x,y) =  10x + 59y  ,  Nebenbedingung:  x^2 +4·y^2 = 4

Mit dem Ansatz:

L(x,y,a)  =  10·x + 59·y + a·(x^2 + 4·y^2 - 4)

durch Nullsetzen der partiellen Ableitungen erhalte ich mit sehr genauen Näherungswerten:

(x = - 0.6420785623  ∧  y = - 0.9470658794  ∧  a = 7.787209063)

                        oder  (x = 0.6420785623  ∧  y = 0.9470658794  ∧  a = - 7.787209063)

also die kritischen Punkte:

   (b₁ | b₁) = ( - 0.6420785623 | - 0.9470658794)

                                  und    (a₁ | a₂)  =   ( 0.6420785623 | 0.9470658794 )

mit    F(b₁|b₂)  ≈ - 62.30    und    F(a₁|a₂)  ≈  62.30    [ ≠ - 62,30 ! ] 

Demnach wäre wohl b) richtig

Gruß Wolfgang

Answer 2

Maximum:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=maximize+10x+%2B+59y+,+x**2%2B4+y**2%3D4

Minimum:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+10x+%2B+59y+,+x**2%2B4+y**2%3D4