Repetition: Ist die Funktion f(x) an der Stelle x0 stetig?

Question

Aufgabe
Ich soll herausfinden ob f(x) = x^{2} + x an der Stelle x_(0) = 3 stetig ist ?

Was kenne ich bereits?


$$\lim _{ x\rightarrow h }{ \frac { f(x+h)\quad -\quad f(x) }{ h }  } $$

Grenzwertdefinition wie und weiss dass mir das die erste Ableitung der Funktion f(x) bringt, aber ich befasse mich gerade mit Aufgaben wie ist die Funktion stetig oder unstetig und ist die Funktion f(x) allgemein bei x_(0) differenzierbar?

Dann habe ich noch folgendes hier gesehen:

$$\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ \frac { f(x)\quad -\quad f(x_{ 0 }) }{ x-{ x }_{ 0 } }  } $$

Ich weiss nicht wie man hiermit rechnet und kann eigentlich die obengenannte Aufgabe hiermit nur bis hier lösen und bekomme wenn ich 3 für x_(0) einsetze 5 heraus.

Wie weiss ich aber jetzt ob f(x) stetig ist? 

$$\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \quad x+2 } =\quad 5$$



Weiter steht in meiner Formelsammlung folgendes:

Eine Funktion heisst stetig an der Stelle x_(0) ∈ D, wenn gilt:
$$\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ \quad f(x)=f({ x }_{ 0 }) } $$
Eine Funktion heisst stetige Funktion, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist.

Wahrscheinlich führt mich das ans Ziel, die sache ist, dass ich überhaupt keine Ahnung habe wie ich diese Informationen aus meiner Aufgabenstellung auf diese Definition umsetzen kann.





Mein Ziel 

Das Ziel ist, dass ich weiss welche unterschiedlichen Grenzwertdefinitionen ich wann anwenden muss und solche Fragen ( vor allem die Frage der Differenzierbarkeit) auch allgemein beantworten kann, also ohne einen konkreten Wert für x_(0).

Comments

Benutze die Definition der Stetigkeit

https://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit#Definition

Wie du richtig sagtest sind beide ersten Formeln für die Ableitung. Diese brauchst du also für die Stetigkeit nicht.

Für die Stetigkeit kannst du wie folgt vorgehen

lim (h-->0) f(x + h) = f(x)

Dabei kann für x eine Bestimmte Stelle eingesetzt werden.

f(x) = x^2 + x

lim (h-->0) f(3 + h) = f(3)

lim (h-->0) (3 + h)^2 + (3 + h) = 3^2 + 3

lim (h-->0) 3^2 + 6h + h^2 + 3 + h = 3^2 + 3

lim (h-->0) 6h + h^2 + h = 0

Das sieht richtig aus und damit ist die Funktion an der Stelle 3 stetig.

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Im Prinzip ist es fast gleich wie die Grenzwertdefinition für die Ableitung. 
Hier nimmt man einfach nur die Differenz und sagt, der Grenzwert der Differenz muss = 0 sein, oder?
(Sofern ich es richtig verstandenhabe )

Das ist das selbe wie es in meiner Formelsammlung steht wenn man das f(x_(0)) nach links nimmt.

$$\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ \quad f(x)=f({ x }_{ 0 }) } \\ \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ \quad f(x)-f({ x }_{ 0 })=0 } $$ 

Bei meiner Aufgabe steht konkret:

$$f(x)={ x }^{ 2 }+x;\quad { x }_{ 0 }=3$$

Ich muss mit diesen Werten die Differenz gemäss Grenzwertdefinition angeben.
$$f(x)={ x }^{ 2 }+x\quad \\ f({ x }_{ 0 })=f(3)={ 3 }^{ 2 }+3$$

$$\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ \quad f(x)=f({ x }_{ 0 }) } \\ \Leftrightarrow \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ \quad f(x)-f({ x }_{ 0 })=0 } \\ \Leftrightarrow \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \quad { (x }^{ 2 }+x)-(12)=0 } \\ \Leftrightarrow \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \quad (12)-(12)=0 } \quad $$

Diese Aussage ist wahr, somit kann ich sagen, dass die funktion stetig ist. 

Oder, kann ich das so machen ?

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Und mit der Methode die du gezeigt hast - ich hab es zwar nicht genau verstanden wieso ich das h gegen Null laufen lasse - aber ich bekomme einen Exakten wert. Und auch eine Wahre Aussage. 

Bei der Definition aus der Formel sage ich dass x-->x_(0) und hier sage ich das h-->0 strebt. 

$$\\ f({ x }_{ 0 }+h)\quad =\quad f(3+h)\quad =\quad (3+h)^{ 2 }+3\\ f({ x }_{ 0 })\quad =\quad f(3)\quad =\quad 3^{ 2 }+3\quad =\quad 12\\ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \\ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \quad f({ x }_{ 0 }+h)=f({ x }_{ 0 }) } \\ \lim _{ h\rightarrow { 0 } }{ \quad (3+h)^{ 2 }+3=12 } \\ \Leftrightarrow \lim _{ h\rightarrow { 0 } }{ \quad 9+6h+h^{ 2 }+3=12 } \\ \Leftrightarrow \lim _{ h\rightarrow { 0 } }{ \quad 9+3=12 } \\ $$

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Genau. Wie du das zeigst ist eigentlich egal. In diesem Fall ist das auch etwas witzlos weil wir ja normalerweise wissen das Polynome immer stetig sind.

Answer 1

jedes Polynom ist stetig. Am einfachsten

ist dies mithilfe des Folgenkriteriums zu zeigen, daher

aus lim n ---> ∞ x_n = x₀ folgt lim n --> ∞ f(x_n) = f(x₀) 

Aufgrund der Grenzwertsätze kann man den limes und die Rechenoperationen

 vertauschen, daher sind Polynome stetig.

Dein Beispiel:

 lim n --> ∞ f(x_n) = lim n --> ∞ x_n^2 +x_n =  (lim n --> ∞ x_n )^2 +  (lim n --> ∞ x_n) = x₀^2+x₀

Jetzt kannst du von mir aus auch noch x₀ = 3 setzen.

Comments

Jawohl mit dem Folgenktiterium kenn ich mich nicht (bzw. NULL) aus aber du zerpflückst es und am Ende bekommst du tatsächlich auf beiden Seiten 12 also 12=12 nur durch Nachschreiben hab ich es herausgefunden.