Ist f,mit f(x,y,z):= (xyz)/(√(x^2+y^2+z^2) falls (x,y,z) ≠ (0,0,0) und 0 sonst, stetig bez. Euklidischer Metrik?

Question

ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion f:R^3 -> R definiert durch:

f(x, y, z) = (xyz)/(√(x²+y²+z²) falls (x,y,z)  ungleich (0,0,0) und 0 sonst

Ist f in (0,0,0) bezüglich der Euklidischen Metrik stetig?

Ich wollte das mit dem Epsilon Delta Kriterium zeigen:

Sei epsilon > 0.

Es gilt: | (x,y,z) -(0,0,0)| = √(√(x²+y²+z²) < delta

Sei jetzt  z das größte der drei Werte ohne Beschränkung der Annahme.
|f(x,y,z)-f(0,0,0)| = |(xyz)/(√(x²+y²+z²) | <= |xyz/√(z²)|=|xy| <=  epsilon

Also muss ich ja jetzt für epsilon was finden in Abhängigkeit von delta dass das stimmt. Kann ich dann zum Beispiel sagen, dass epsilon = xydelta ist? Weil dann würde ja die Gleichung stimmen oder?
Oder ist die Funktion etwa gar nicht stetig? Aber wie zeige ich dass dann?

Answer 1

Hi,

$$ \left|  \frac{ x y z }{ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} } \right| \le x^2 +y^2 +z^2 $$ weil \( |x| \le \sqrt{ x^2 + y^2 + z^2 } \) gilt und das gleiche ebenfalls auch für \( y \) und \( z \) gilt.

Wählt man \( \delta = \sqrt{ \epsilon } \) folgt für \( \sqrt{ x^2 + y^2 + z^2 } \le \delta \)

$$ \left|  \frac{ x y z }{ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} } \right| \le x^2 +y^2 +z^2 \le \delta^2 = \epsilon  $$