Gruppenepimorphismus G nach ℤ/2ℤ

Question

ich benötige etwas Hilfe zu folgender Aufgabe:

Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G. H hat in G den Index 2.

Finden Sie einen Gruppenepimorphismus von G nach ℤ/2ℤ.

Ich weiß, dass H ein Normalteiler von G ist und (ℤ/2ℤ) = {[0]₂,[1]₂} ist. Nun möchte ich einen surjektiven Homomorphismus f von G nach ℤ/2ℤ finden. Für g ∈ G:

f(g) =  { [0]₂ , falls g ...
             [1]₂ , falls g ...

Wie könnte f aussehen?

Answer 1

Betrachte die Abbildung  f : G ---> Z/2Z mit

f(g) =  { [0]₂ , falls g ∈ H
             [1]₂ , falls g ∈ G\H

f ist surjektiv, da H in G den Index 2 hat, also H≠G.

damit sind weder H noch G\H leer.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Die Surjektivität von f ist verständlich.
Doch wie sieht es mit dem Homomorphismus aus?

Für g,g' ∈ G\H müsste f(g*g') = [0]₂ sein, damit f(g*g') = f(g) + f(g') ist.
Kann man irgendwie begründen, dass g*g' ∈ H sein muss?

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Bin mir etwas unsicher, aber hängt das nicht auch am Index 2 ?

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Der Index 2 sagt mir etwas über die Anzahl der Nebenklassen (2) und über die Ordnung von G, mit Lagrange ist ord(G)=2 ord(H).

Zusätzlich ist H ein Normalteiler von G.

Leider fehlt mir da die Idee zur Schlussfolgerung, dass g*g' ∈ H sein muss.