1) V=Abb(R,R). Zeigen Sie, dass Φ: V -> V, definiert durch Φ(f): x -> f(x^2), linear ist.
2) Bestimmen Sie die Dimension von Kern(Φ) und von Bild(Φ)
3) Gilt Kern(Φ) ⊕ Bild(Φ) = V
4) Zeigen Sie, dass U= {f ∈ V | für alle x,y ∈ R gilt: Aus xy > 0 folgt f(x)=f(y)} ein UVR von V ist und bestimmen Sie die Dimension Φ(U).
Meine Ansätze:
zu 1) i) Φ(f+g)(x)=(f+g)(x^2)=f(x^2)+g(x^2)=Φ(f(x))+Φ(g(x))
ii) Φ(λ⋅f(x))=λ⋅f(x^2)=λ⋅Φf(x)
bei 2) weiß ich leider nicht weiter, weil ich mir gar nicht vorstellen kann, wie der Kern und das Bild von der Abbildung Φ auszusehen hat :/ dementsprechend weiß ich bei 3) auch nicht weiter
zu 4): i) U ist nicht leer, da für f ∈ V und x,y ∈ R folgt, dass für irgendein xy>0 gilt: f(x)=0=f(y), also ist die Nullabbildung in U enthalten
ii) f,g ∈ U, dann folgt für xy>0, dass auch (f+g)(x)=(f+g)(x), also f(x)+g(x)=f(y)+g(y), somit ist f+g ∈ U
iii) λ ∈ R, dann folgt für xy>0, dass auch λf(x)=λf(y), für λ beliebig, da auch bei negativen Zahlen Gleichheit gilt
bei der Frage nach der Dimension von Φ(U) bin ich leider ratlos
