autonomen Differentialgleichung finden (y')^2 − 2yy'+ yy'' = 0 , y' (0) = 2, y(0) = 1

Question

(y')^2 − 2yy'+ yy'' = 0 ,   y' (0) = 2, y(0) = 1 

hallo wie kann ich Lösung der autonomen Differentialgleichung finden?

Answer 1

    

$$(y')^2-2yy'+yy''=0\\ y'(0)=2\\ y(0)=1\\ \boxed{y'=p\\y''=\frac{dp}{dy}\cdot p}\\⇒\text{eingesetzt in die Aufgabe:}\\ p^2-2yp+y\frac{dp}{dy}\cdot p\\p(p-2y+y\frac{dp}{dy})=0\\\text{Fall1:}\quad p=0⇒y'=0dx⇒y=c_1\\ \text{Fall 2:}\quad p-2y+y\frac{dp}{dy}=0\qquad |+2y\\p+y\frac{dp}{dy}=2y\qquad |:y\\ \frac{dp}{dy}+\frac{p}{y}=2\\⇒ \text{Variation d. Konstanten}$$                                 

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