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Einleitung zur Normalverteilung und die Fragestellung
Bei der Normalverteilung handelt es sich um eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die oft dazu verwendet wird, reale Zufallsvariablen darzustellen. Die Verteilung wird durch zwei Parameter bestimmt: den Mittelwert (Durchschnitt) \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\). In dieser Aufgabe ist \(\mu = 6\) Jahre und \(\sigma = 3\) Jahre.
Die Europäische Union hat beschlossen, dass Taxis über 10 Jahre aus dem Verkehr gezogen werden müssen, was bedeutet, dass Taxiunternehmen ihre Flotten anpassen müssen, um diese Anforderung zu erfüllen. Wir sollen herausfinden, um wie viel Taxiunternehmen ihre Flotte anpassen müssen, so dass im nächsten Jahr höchstens 5% der Flotte ausgemustert werden müssen.
Das Problem lösen
Um das Problem anzugehen, müssen wir zunächst verstehen, wie die Normalverteilung angewendet wird, um zu ermitteln, welcher Prozentsatz der Taxis unter den aktuellen Bedingungen älter als 10 Jahre ist.
Die Z-Score-Formel, die den Abstand eines Punktes vom Mittelwert in Einheiten der Standardabweichung misst, lautet:
\(
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
\)
Dabei ist:
- \(Z\) der Z-Score,
- \(X\) der Wert aus der Verteilung (in diesem Fall das Alter des Taxis, also 10 Jahre),
- \(\mu\) der Mittelwert (6 Jahre), und
- \(\sigma\) die Standardabweichung (3 Jahre).
Setzen wir die Werte ein, um den Z-Score für ein 10 Jahre altes Taxi zu berechnen:
\(
Z = \frac{10 - 6}{3} = \frac{4}{3} \approx 1,33
\)
Dies bedeutet, dass die Altersgrenze von 10 Jahren 1,33 Standardabweichungen über dem Mittelwert liegt.
Um den Anteil der Taxis zu bestimmen, die älter als 10 Jahre sind und somit ausgemustert werden müssen, suchen wir die Fläche unter der Normalverteilungskurve, die rechts von diesem Z-Wert liegt. Dies kann mit einer Z-Tabelle oder einem Statistik-Rechner durchgeführt werden. Der Z-Wert von 1,33 entspricht etwa 90,8% der Fläche unter der Kurve. Dies bedeutet, dass 90,8% der Taxis jünger als 10 Jahre sind und 9,2% der Taxis (100% - 90,8%) älter als 10 Jahre sind und daher ausgemustert werden.
Um im nächsten Jahr höchstens 5% der Flotte ausmustern zu müssen, muss der Bereich, der älter als der Grenzwert ist, auf 5% der Gesamtflotte reduziert werden. Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung entspricht ein Z-Score, der 5% der Fläche vom Ende der Verteilung einschlägt, ungefähr -1,645 (für das untere Ende), aber da wir uns für das obere Ende interessieren, ignorieren wir das Vorzeichen.
Um den entsprechenden Alterswert zu finden, der diesem Z-Score entspricht (und somit die maximale Altersgrenze der Taxis im nächsten Jahr definiert, damit höchstens 5% ausgemustert werden müssen), benutzen wir die Z-Score-Formel rückwärts:
\(
X = Z \sigma + \mu
\)
Setzen wir \(Z = 1,645\), \(\sigma = 3\) Jahre, und \(\mu = 6\) Jahre:
\(
X = 1,645 \times 3 + 6 \approx 4,935 + 6 \approx 10,935
\)
Da Taxis nicht in Bruchteilen eines Jahres gealtert sind, muss abgerundet werden, was bedeutet, dass im nächsten Jahr die Altersgrenze etwas angepasst werden müsste, um unter den aktuellen Bedingungen mit einer Standardabweichung von 3 Jahren und einem Durchschnittsalter von 6 Jahren höchstens 5% der Flotte auszumustern. Allerdings zeigt die Rechnung eigentlich, dass wenn man genau bei 5% aussortieren möchte, man ein durchschnittliches Maximalalter von knapp 11 Jahren anstreben müsste. Jedoch basieren diese Berechnungen auf der Annahme, dass das Maximalalter linear mit der Zeit steigt, was in der Praxis nicht unbedingt der Fall sein muss.
Zusammenfassung
Taxis sind durchschnittlich 6 Jahre alt bei einer Standardabweichung von 3 Jahren. Unter diesen Umständen müssen etwa 9,2% der Taxis ausgemustert werden, da sie älter als 10 Jahre sind. Um die Ausmusterungsrate im nächsten Jahr auf maximal 5% zu reduzieren, müsste theoretisch die Altersgrenze so angepasst werden, dass die Flotte ein durchschnittliches Maximalalter von knapp 11 Jahren nicht überschreitet.
