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Hey:)


Hab die Aufgabe gegeben und wollte den maximalen Defintionsbereich angeben.

Für f: ℝ2-> ℝ2

Für g: weiß ich leider nicht. Der ln ist ja definiert für alle ℝ, x>0 und beim arctan?

Würde mich über eure Hilfe freuen

Bild Mathematik

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es fehlen die Funktionsvorschriften

Sorry, hab vergessend ad hochzulafenBild Mathematik 

Versteht die keiner?

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Hallo Sonnenblume,

g:  { (x,y) ∈ ℝ2 |   x ≠ 0 } → ℝ2    ,   f: ℝ2 → ℝ  , also  g(Dg) ⊂  Df

(i)

h(x,y)  =  (fog) (x,y)  =  f(g(x,y)) 

h(x,y)  =  4·arctan(y/x)2 + 4·ln(√(x2 + y2))2 

Edit: (vgl. meinen Kommentar)  

[ h(x,y) =  4·arctan(y/x)2 + 2·ln(x2 + y2)  war leider eine falsche Umformung ]

Dh  =  { (x,y) ∈ ℝ2 |   x ≠ 0 }

Damit ändert sich auch der Rest:

 hx  =  4·x/(x2 + y2) - 8·y·arctan(y/x) / (x2 + y2)   

hx(x,y)  =  4·x·LN(x2 + y2)/(x2 + y2) - 8·y·ATAN(y/x)/(x2 + y2)

hy  =  8·x·arctan(y/x) / (x2 + y2) + 4·y / (x2 + y2)

hy(x,y)  =  8·x·ATAN(y/x)/(x2 + y2) + 4·y·LN(x2 + y2)/(x2 + y2)

Jacobimatrix  Jh(a)  =  ( hx(a)    hy(a) )    , a ∈ Dh

(ii)

Tangentialebene:   z  =  h(2,0) + hx(2,0) *(x-2) + hy(2, 0) *(y-0)

z  =  8 * ln(2)2 +  2 * (x - 2) + 0 * y

z  =  4 * ln(2)2 + 4*ln(2)*(x-2) + 0 * (y-0)

z  =  2x  + 8 · ln(2)2 - 4   

z  =  4 * ln(2)2 + 4*ln(2)*(x-2) 


(iii) 

grad( (h) )  =   ( hx , hy )   (Vektor)

grad(h) (2,0) =  ( 4*ln(2) , 0)    Richtung des stärksten Anstiegs

 | (2,0) | = √(4*ln(2)2 + 02)  = 4*ln(2)   Betrag des steilsten Anstiegs

Gruß Wolfgang

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Hi Wolfgang :)

Wie kommst du hier auf das 4x und das -8y?

hx  =  4·x/(x2 + y2) - 8·y·arctan(y/x) / (x2 + y2)


Gruß Sonnenblume

 4·arctan(y/x)2 + 2·ln(x2 + y2)

Ableiten nach x:  (die Summanden bei hx sind vertauscht)

2·ln(x2 + y2)  →   2 * 1/(x2 + y2)  * 2x = 4x /  (x2 + y2

 4·arctan(y/x)2 

 4 * 2* arctan(y/x) * 1 / (1+(y/x)2)  (-y/x2)  

          = - 8y / x2 * 1/((x2+y2)/x2) * arctan(y/x) 

          =   - 8y * arctan(y/x) / (x2+y2)

→Woher kommt das (-y/x2)? 

Weil müsste es nicht eigentlich (-y2/x) heißen?

  4 * 2* arctan(y/x) * 1 / (1+(y/x)2)  (-y/x2)  

das ist die innere Ableitung von arctan(y/x) nach x  (y konstant)

[ y/x ] '  = y * (-1) /x2  = - y / x2

Wohin verschwindet das /x^2?

→  4 * 2* arctan(y/x) * 1 / (1+(y/x)2)  (-y/x2)  

          = - 8y / x2 * 1/((x2+y2)/x2) * arctan(y/x) 

          =   - 8y * arctan(y/x) / (x2+y2)

 - 8y / x2 * 1 / ( (x2+y2)/x) * arctan(y/x) 

=   - 8y / x * x2 / (x2+y2* arctan(y/x) 

dann kürzt sich x2 einfach weg.

Bei der Tangentialebene müsste es da nicht 2ln(4) statt dem 8ln(2)heißen?


Weil arctan(0/2)^2 =0 und 2ln(4+0)

Aus irgendeinem Grund habe ich für

h(x,y) = 4·arctan(y/x)2 + 4·ln(√(x2 + y2))2  

die falsche Umformung 4·arctan(y/x)2 + 2·ln(x2 + y2)  übertragen. 

(Sorry, ich habe - wegen deines verzweifelten Hilferufs :-) - mit dem Handy geantwortet. Das ist ziemlich unübersichtlich und ungewohnt und ich hoffe, dass es jetzt richtig ist)

Damit ändert sich leider noch mehr:

hx(x,y)  =  4·x·ln(x^2 + y^2)/(x^2 + y^2) - 8·y·arctan(y/x)/(x^2 + y^2)

hy(x,y)  =  8·x·arctan(y/x)/(x^2 + y^2) + 4·y·ln(x^2 + y^2)/(x^2 + y^2)

h(2,0)  =  4 * ln(2)2 

hx(2,0)  =  2* ln(4)  =  4 *ln(2) 

hy(2,0)  =  0

Tangentialebene:  z  =  4 * ln(2)2 + 4*ln(2)*(x-2) + 0 * (y-0)

                             z  =  4 * ln(2)2 + 4*ln(2)*(x-2) 

gradh (2,0)  =  (4*ln(2) , 0)  Richtung des stärksten Anstiegs

(4*ln(2) , 0) |  =  4*ln(2)     Betrag des steilsten Anstiegs

Müsste nicht

hx(2,0)  =  2* ln(4)  =  4 *ln(2)  nicht eigentlich

8*ln(4) heißen?

Wegen 4x*ln(x^2)?

Hab das obige Problem gelöst.


Wie kommst du jetzt auf

4·x·ln(x2 + y2)/(x2 + y2)?


Ich nehme an, du meinst

 h(x,y) = 4·arctan(y/x)2 + 4·ln(√(x2 + y2))2  

hx(x,y)  =  4·x·ln(x2 + y2) / (x2 + y2) - 8·y·arctan(y/x) / (x2 + y2)

[ 4·ln(√(x2 + y2))2 ]x'  

        Du kannst z.B. mehrfach die Kettenregel anwenden:

=  4 * 2 * ln(√(x2 + y2)) * [ ln(√(x2 + y2)) ]x'

               [ ln(u) ] ' = 1/u * u'

=  8 * ln(√(x2 + y2)) * 1 / (√(x2 + y2) * [ √(x2 + y2) ]x' 

              √u = u1/2    

=  8 * ln( (x2 + y2)1/2 )1 / (√(x2 + y2) * [ √(x2 + y2) ]x' 

         Logarithmensatz:  ln(ur) = r * ln(u) ,    [ √u ] ' =  1 / (2*√u) * u'

=  8 * 1/2 * ln((x2 + y2)) * 1 / (√(x2 + y2) * 1 / ( 2*√(x2 + y2) ) * [ x2 + y2 ]x

=  4 * ln((x2 + y2))  * 1 / (√(x2 + y2) * 1 / ( 2*√(x2 + y2) ) * 2x

          durch 2 kürzen und zusammenfassen

=  4 * x * ln(x2 + y2) / (x2 + y2

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