a) um die Multiplikationstabelle für \(\mathbb{Z}_{11}\) aufzustellen, berechnest Du alle Reste der Produkte \(x\cdot y\), die bei der Divisiion durch 11 auftreten. Mit \(x;y \in [0 ..10] \). Ein Auszug der Tabelle sähe so aus:
| 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 2 | 6 | 10 | 3 |
| 5 | 8 | 2 | 7 | 1 |
| 6 | 3 | 9 | 4 | 10 |
| 7 | 9 | 5 | 1 | 8 |
Die beiden rot markierten Werte werden so berechnet: \(4\cdot 6 = 24 \equiv 2; \space 4 \cdot 7 = 28 \equiv 6 \space \text{usw.} \mod 11\) Die Tabelle ist natürlich symmetrisch zur Diagonalen, da die Multiplikation kommutativ ist. Der Eintrag bei (6;7) hat den gleichen Wert =9 wie der Eintrag bei (7;6) - da \(6 \cdot 7 \equiv 9 \mod 11\). Für \(\mathbb{Z_{12}}\) geht es genauso, nur eben mit dem Divisor 12.
b) Es gibt genau dann eine Lösung für \(5 \cdot x = 1; \space x \in \mathbb{Z}_{11}\), wenn man in der 5. Zeile oder Spalte den Wert 1 findet (oben grün markiert). Das ist hier der Fall. \(5 \cdot 9 = 45 = 4 \cdot 11 + 1\) bzw. in der Modulo Schreibweise \( 5 \cdot 9 \equiv 1 \mod 11\). \(x=9\) ist hier die Lösung.
Für \(5 \cdot x = 1; \space x \in \mathbb{Z}_{12}\) ist \(x=5\), da \( 5 \cdot 5 \equiv 1 \mod 12\). Die 1 sollte in der Tabelle für \(\mathbb{Z}_{12}\) an der Position (5;5) stehen.
c) Für die Gleichung \(6 \cdot x = 1\) wirst Du feststellen, dass es für \(\mathbb{Z}_{11}\) die Lösung \(x=2\) gibt, aber für \(\mathbb{Z}_{12}\) gibt es 6 Lösungen. Jedes \(x\) mit \(x=2i+1; \space i \in [0..5]\) erfüllt diese Gleichung. Macht auch Sinn, denn
$$6 \cdot (2i+1) = 12i + 6 \equiv 6 \mod 12 $$
