Bestimmen Sie für die komplexen Potenzreihen jeweils Entwicklungspunkt und Konvergenzradius

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die folgenden komplexen Potenzreihen jeweils den Entwicklungspunkt \( z_{0} \in \mathbb{C} \) und den Konvergenzradius \( \rho \in \mathbb{R}_{0}^{+} \cup\{+\infty\} \) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{9}\right)^{k}(z+3)^{k} \quad \sum \limits_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{9}\left(z^{2}+4 i z-4\right)\right)^{k} \quad \sum \limits_{k=3}^{\infty}\left(\frac{2+(-1)^{k}}{3 e^{4}}\right)^{k}(z+5 i-2)^{k} \) \begin{tabular}{|l|}

Nachtrag:

Es sind inzwischen Teilaufgaben nochmals vorhanden:
https://www.mathelounge.de/458062/konvergenzradius-berechnen-summe-2-bis-uenendlich-1-9-z-4iz
https://www.mathelounge.de/458060/summe-1-4-k-berechnen-von-0-bis-unendlich

Answer 1

Formel von Cauchy-Hadamard r = 1/ (lim sup_n→∞ ⁿ√|an|)

a) a_n = (-1/9)^n. |a_n| = (1/9)^n

r = 1/ (lim sup_n→∞ ⁿ√(1/9)^n) = 1/(lim sup_n→∞(1/9)) = 1/(1/9) = 9
r = 9
Die Reihe konvergiert für alle |z-z₀| < 9 bzw. für alle |z+3| < 9

b) a_n = |a_n| = (1/9)^n
Konvergenzradius wie oben.
Die Reihe konvergiert für alle |z-z₀| < 9 bzw. für alle |z^2 + 4i - 4| < 9

c) a_n = ((2+(-1)^n/(3(e^4)))^n a_n= (1/e^4)^n

r = 1/ (lim sup_n→∞ ⁿ√(1/e^4)^n) = lim sup_n→∞1/e^4 = 1/(1/e^4) = e^4

Die Reihe konvergiert für |z+5i-2| < e^4

Comments

Für die muss aber anscheinend 3 rauskommen?

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Das ist eine geometrische Reihe mit q = (-1/4), dafür gibt es doch die Formel ^∞∑_n=0 q^n = 1/(1-q)