Minimaler Abstand einer Matrix und Youngsche Ungleichung

Question

ich bin zurzeit im Krankenhaus und weiß leider nicht weiter. Könntet ihr mir helfen?

Danke schon mal

Answer 1

Hi,

zu (2)
Du hast die Funktion $$ f(x,y)=\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}  $$ wegen der Nebenbedingung wird daraus $$ f(x)=\frac{x^p}{p}+\frac{\left(\frac{1}{x}\right)^q}{q} $$
Daraus folgt $$ f'(x) = x^{p-1} - x^{-q-1} = 0  $$ und daraus \( x = 1 \)
Dann die zweite Ableitung prüfen, ob an der Stelle \( x = 1\) ein Minimum vorliegt.
Aus \( x = 1 \) ergibt sich das Minimum zu \( f(1) = 1\)

Jetzt das Ergebnis von oben auf die Größen \( u = \frac{x}{(xy)^\frac{1}{p}} \) und \( v = \frac{y}{(xy)^\frac{1}{q}} \) anwenden, das geht weil \( u v = 1 \) gilt und es folgt
$$ \frac{x^p}{p x y}+\frac{y^q}{q x y} \ge 1 $$ also $$ \frac{x^p}{p }+\frac{y^q}{q } \ge x y  $$

Zu (1) wie ist der Abstand der Matrizen definiert?

Comments

Hi, wenn der Abstand zweier Matrizen so definiert ist $$ \| A - B \|^2 = \sum_{i,j=1}^n (a_{ij}-b_{i,j})^2  $$ dann folgt
$$ L(a,b,c,d,\lambda) = (a-1)^2+b^2+c^2+(d-2)^2+\lambda(ad-bc)  $$ ist zu minimieren
Die Lösungen sind \( a = \frac{4(\lambda-1)}{\lambda^2-4} \), \( b = 0 \) , \( c = 0 \) und \( d = \frac{2(\lambda-4)}{\lambda^2-4} \)
Aus der Nebenbedingung folgt \( \lambda = 1 \) oder \( \lambda = 4 \), damit ergibt sich für die gesuchte Matrix
$$ A=\begin{pmatrix}  0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$ oder $$ A=\begin{pmatrix}  1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$