Operationen (Verknüpfungen) berechnen

Question

ich komme mit einer Aufgabe nicht klar.

 

Sei A eine Menge mit n Elementen. Man berechne die Anzahl

- aller Operationen (Verknüpfungen)

- der kommutativen Operationen

- der kommutativen Operationen mit neutralem Element e∈A.

 

Das z.B.

λ: A × A → A

eine Verknüpfung ist weiß ich, aber wie kann man die Anzahl berechnen?

Ich hoffe, ihr könnte mir helfen.

 

Answer 1

In einer Menge mit n Elementen kann man jedes Element mit jedem Verknüpfen.

Die Antwort auf deine erste Frage ist also: n²

Wenn wir uns in einer abelschen Gruppe befinden (alle Operationen sind kommutativ), dann gilt immer a x b = b x a

Also "aus 2 mach 1". Aber Achtung: für alle a x a = a x a gilt das nicht.

Deshalb folgender Ansatz:

Das erste Element kann mit n Elementen verknüpft werden, das zweite mit (n-1), das dritte mit (n-2), usw.

So gibt es keine Überschneidungen und alle möglichen Vernüpfungen sind gezählt.

Es gibt also 1+2+3+...+n = (n²+n)/2 verschiedene kommutative Verknüpfungen.

Da es immer nur ein neutrales Element gibt und eine Verknüpfung mit dem neutralen Element per Definition kommutativ ist (jedenfalls in einer Gruppe/einem Monoid), also e x a = a x e = a, gibt es mit dem neutralen Element genau n mögliche Verknüpfungen.