Berechne die von der Strophoide c umschlossene Fläche.

Question

Für x ∈ (-1,1) ist die Strophoide gegeben durch

c(x)=((x²-1)/(x²+1, (x(x²-1)/(x²+1))^T

Berechne die von der Strophoide c umschlossene Fläche.

Answer 1

Die Gleichung der Strophoide gebe ich mit c(x)=±x·√((1-x)/(1+x) an. Über dem Intervall [0;1] verläuft der Ast c⁺(x)=x·√((1-x)/(1+x) oberhalb der x-Achse und schließt mit der x-Achse eine Fläche der Größe 1 - π/4 ein. Dann schließt die Strophoide insgesamt die Fläche 2 - π/2 ein. Die Schwierigkeit dabei ist das Intergal von c⁺. Wie man das bildet, kann ich nicht wiedergeben.

Answer 2

Ich würde probieren, ob ich diese Parametrisierte Kurve eventuell in eine explizite Funktion f(x) = ... umwandeln kann.

Wenn das nicht klappt, dann eventuell in einen Radius in Abhängigkeit vom Winkel umwandeln.

Die x-Koordinate ist übrigens achsensymmetrisch und die y-Koordinate punktsymmetrisch. Damit sollte die Kurve symmetrisch sein und ich brauche nur einen Teil betrachten und den verdoppeln.

Ich komme dabei auf eine Fläche von (4 - pi)/2.