Untersuchen Sie die Funktion auf Diff´barkeit

Question

Ich bräuchte Hilfe beim Lösen folgender Aufgabe: Untersuchen Sie die Funktion f: [0, INF [ → ℝ auf Diff´barkeit

f(x):= {x*sin(π/x)  ,  x>0

          0                ,  x=0}

Answer 1

Einzige problematische Stelle x=0 .

hier allenfalls rechtsseitige Differenzierbarkeit vorhanden, wenn

(f(0+h) - f(0))/h  für h gegen 0 konvergiert.

( h*sin(pi/h) -  0  )/h

= sin(pi/h) konvergiert nicht, denn

h_n = pi /(pi² *(n+1/2))  = 1 / (n*pi * 0,5pi)

ist eine Nullfolge, für die

sin(pi/h) = sin(n*pi+0,5pi )  sicher nicht konvergiert, da es

zwischen 1 und -1 hin und her springt.

Ansonsten ist es überall aufgrund der einschlägigen Sätze diffb.