Aufgabe zu ggT/Teilbarkeit

Question

Seien a, b, c natürliche Zahlen, sodass

a teilt c

b teilt c

und a,b teilerfremd.

Beweise:

a*b teilt c.

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Ich habe es mit Bezout probiert, aber irgendwie komme ich nicht voran.

Answer 1

$$\left(a|c\iff \exists k\in\mathbb{Z}:\quad c=ak\right)\quad\text{und}\quad (b|c\iff \exists k'\in\mathbb{Z}:\quad c=bk')$$
mit Bezout folgt dann:
$$ggT(a,b)=1\iff \exists p,q\in\mathbb{Z}:\quad pa+qb=1 \qquad(1)$$
(1) mit c multiplizieren und einsetzen:
$$pac+qbc=pa(bk')+qb(ak)=ab(pk'+qk)=c$$
also
$$ab|c$$