Majoranten- und Minorantenkriterium bei Reihen: Wann divergiert die Reihe ∑ 1/(n^x)

Question

es gilt ja: ∑ 1/n² ist konvergent und ∑1/n divergent.

Was passiert aber wenn der Exponent zwischen 1 und 2 liegt, also zum Beispiel bei der Reihe ∑ 1/n^1.5 ?

Würde diese Reihe immer noch divergieren oder konvergiert sie schon?

Comments

Warum soll 1/n divergieren?

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Wenn ich ein paar Tage vor meiner Mathe II Klausur noch nicht ganz bescheuert bin, sollte die Reihe ∑ (n=1 bis ∞) 1/n divergieren :D

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Un warum sollte dann 1/n^2 nicht divergieren? Wo ist da der große Unterschiede, wenn n gegen unendlich geht?

Der Bruch geht doch in beiden Fällen gegen Null.

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So wie du argumentierst würde ja jede Reihe ∑ a_n konvergieren, solange a_n eine Nullfolge ist.

Die an müssen eine Nullfolge bilden, ist aber nicht ausreichend für die Konvergenz der Reihe.

∑ 1/n² = π²/6 konvergiert also ziemlich sicher.

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Sorry, da war ich auf dem falschen Dampfer. Du hast natürlich recht. Ich habe das Summenzeichen nicht wirklich beachtet. :)

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Tipp: vergleiche mit den Reihen über 1/n und 1/n^2

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@Gast jc2144:

Wie soll das hier gehen?

Es gilt ja weder 1/n^1.5 <1/n² noch 1/n^1,5>1/n

Wie soll ich hier mit 1/n oder 1/n² abschätzen?

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Sry hab mich vertan, so kann man es nicht zeigen.

Eine andere Möglichkeits ist die Verwendung des Integralkriteriums, wenn ihr dies schon verfügbar habt.

Answer 1

Hallo Simon,

(n=1 bis oo)∑1/n^α mit α ∈ IR ist die allgemeine harmonische Reihe.
Sie divergiert für α <= 1 und sie konvergiert für α > 1. (Also konvergiert sie erst recht auch für 1 < α < 2.)
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Beschr%C3%A4nkte_Reihen_und_Konvergenz#Anwendung:_Konvergenz_der_allgemeinen_harmonischen_Reihe

Beste Grüße
gorgar

Comments

Hallo Gorgar :)

Also könnte ich meine Reihe beispielsweise mit 1/n^1.5 < 1/n^1.3  abschätzen und damit die Konvergenz begründen?

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Begründen kannst Du es damit, dass es eine allgemeine harmonische Reihe mit α >1 ist.

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P.S. Also könnte ich meine Reihe beispielsweise mit 1/n^1.5 < 1/n^1.3  abschätzen und damit die Konvergenz begründen?

Ja, so kannst Du die Konvergenz von ∑1/n^1.5 begründen. Aber dafür musst Du ja auch zeigen oder begründen, dass ∑1/n^1.3 konvergent ist(Die Majorante muss ja eine konvergente Reihe sein.).

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Stimmt. Deine Begründung passt besser :)