Stochastik - Erwartungswert und Varianz bestimmen (tetraderförmiger Würfel)

Question

bin mir bei folgender Aufgabe nicht ganz sicher ob meine Lösung und Begründung richtig ist, hoffe ihr könnt mir weiterhelfen :)

Hier die Aufgabe:

In einem Spiel werden in jeder Runde mit einem tetraederförmigen Würfel die Augenhöhle 1, 2, 3 und 4 jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/4 geworfen, unabhängig von den restlichen Runden. X_i sei die Augenzahl der i-ten Runde.

Bestimmen Sie:

1.) E(X₁) und Var(X₁)

2.) E(X₁-X₂) und Var(X₁-X₂)

Meine Lösung:

1.) E(X₁) = 1*(1/4) + 2*(1/4) + 3*(1/4) + 4*(1/4) = 2,5

E(X₁²)= 1*(1/4) + 4*(1/4) + 9*(1/4) + 16*(1/4)= 7,5

Var(X₁)= E(X₁²) - (E(X₁))² = 7,5 - (2,5)² = 7,5 - 6,25 = 1,25

2.) E(X₁-X₂) = E(X₁) - E(X₂) = 0

Da E(X₁) = E(X₂) (X_i beschreibt die Augenzahl der i-ten Runde und nicht die Summe der Augenzahlen o.ä.)

Var(X₁-X₂) = Var(X₁) - Var(X₂) = 0 (Da X₁ und X₂ unabhängig und gleich verteilt sind)

Ist dies so richtig, insbesondere bei der 2.) ??

Denn es wird in der Aufgabe ja nur gesagt das X_i die Augenzahl der i-ten Runde ist. Also ist die Wahrscheinlichkeit für z.B. eine 2 in der 1. Runde die gleiche wie für die 2. , 3. oder n. Runde. Somit ist in jeder Runde der Erwartungswert für die unabhängigen Würfe gleich 2,5.

Hoffe das dies so stimmt, die Aufgabe hat mich ein wenig verwirrt.

Schonmal vielen Dank für eure Antworten!

LG

Answer 1

Es gilt

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

und auch

V(X + Y) = V(X) + V(Y)

Ob aber V(X - Y) = V(X) - V(Y) gilt, solltest du mal nachweisen. Das würde ich dir so nicht abkaufen.

Wie ist das denn mit V(-X) = -V(X) ???

Comments

Hey erstmal

Also es gilt nach der Formel von Bienayme:Var(∑X_i) = ∑Var(X_i) + ∑Cov(X_i,X_j)  (i≠j)Da aus stochastischer Unabhängigkeit unkorreliertheit folgt, ist die Cov(X_i,X_j)=0und somit folgt die Beh. Var(X₁+X₂)=Var(X₁)+Var(X₂)
Aber du hast recht dann habe ich dennoch einen Fehler gemacht.Wäre das folgende denn richtig?
Var(X₁-X₂) = Var(X₁) + Var(-X₂) = Var(X₁) + (-1)² * Var(X₂) = 1,25 + 1,25 = 2,5

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Und ist es denn richtig dass E(X₁-X₂)= E(X₁) + E(-X₂) = 2,5 + (-2,5) = 0 ist?

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Du kannst es selber leicht prüfen oder nicht ? Du weißt doch wie man den Erwartungswert und die Varianz anhand der Verteilung berechnet oder?

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Ja wie man die Varianz berechnet habe ich ja schon oben hingeschrieben.

Der Erwartungswert ist definiert als ∑ X(ω)*P({ω}) (Summe über ω∈Ω).

Ω={1,2,3,4}  ; |Ω| = 4 ; P(ω) = (|ω|)/(|Ω|) = 1/4

Also ist E(X₁) = 1*P(1)+2*P(2)+3*P(3)+4*P(4)=1*(1/4)+2*(1/4)+3*(1/4)+4*(1/4)=2,5 =E(X₂)

Und E(-X₂) = (-1)*P(1)+(-2)*P(2)+(-3)*P(3)+(-4)*P(4) = ... = -2,5

Und somit E(X₁-X₂) = E(X₁) + E(-X₂) = 2,5 + (-2,5) = 0

Also sind die Lösungen der Aufgabe:

1.) E(X₁) = 2,5  und Var(X₁) = 1,25

2.) E(X₁-X₂) = 0 und Var(X₁-X₂) = 2,5

Dann gehe ich mal recht der Annahme das die Ergebnisse richtig sind !?

:-)

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Ja die Ergebnisse sind richtig.