F4 Untervektorraum? F4:= {(a_n)_(n∈N)∈F|a_(n+1)≤ a_(n)∀n∈N und \sum_{n=1}^{\infty}{\sqrt{{|a}_{n}{a}_{n+1}|}} < ∞

Question

Aufgabe:

Sei \( F \) die Menge aller reellen Folgen. Die Addition zweier Elemente \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \in F \) und die skalare Multiplikation seien wie folgt gegeben

\( \begin{aligned} \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}+\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} &:=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \\ & \lambda\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}:=\left(\lambda a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \forall \lambda \in \mathbb{R} \end{aligned} \)

Dadurch wird \( F \) zu einem \( \mathbb{R} \) -Vektorraum. Eine Teilmenge eines Vektorraumes heißt Unterraum, falls sie mit den vom Vektorraum induzierten Verknüpfungen selbst einen Vektorraum bildet. Untersuchen Sie, ob bei folgenden Teilmenge es sich um einen Unterraum von \( F \) handelt.

(iv) \( F_{4}:=\left\{\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \in F \mid a_{n+1} \leq a_{n} \forall n \in \mathbb{N}\right. \) und \( \left.\sum \limits_{n=1}^{\infty} \sqrt{\left|a_{n} a_{n+1}\right|}<\infty\right\} \)

Bestimmen Sie im Falle eines Unterraumes das neutrale Element und zu jedem Element des Raumes sein Inverses.

Ansatz/Problem:

Die Theorie ist mir bewusst, ich muss erstmal schauen ob der Nullvektor in der Menge ist, dann schauen ob Vektoraddition und Skalare Multiplikation erfüllt sind... aber wie mache ich das genau?

$${F}_{1}:= ({a}_{n})_{n\epsilon\nu}\quad\epsilon F \quad| ...$$

F4 Untervektorraum von F? F4:= {(a_n)_(n∈N)∈F|a_(n+1)≤ a_(n)∀n∈N und $$\sum _{n=1}^{\infty}{\sqrt{{|a}_{n}{a}_{n+1}|}} < ∞ $$

Comments

Sei F die Menge aller reellen Folgen. Die Addition zweier Elemente (an)n∈N,(bn)n∈N ∈ F und die skalare Multiplikation seien wie folgt gegeben 

(a_n)_n∈N + (b_n)_n∈N := (an + bn)_n∈N, 

λ(a_n)_n∈N := (λa_n)_n∈N ∀_{λ ∈ R}. 

Dadurch wird F zu einem R-Vektorraum. Eine Teilmenge eines Vektorraumes heißt Unterraum, falls sie mit den vom Vektorraum induzierten Verknüpfungen selbst einen Vektorraum bildet. Untersuchen Sie, bei welchen der folgenden Teilmengen es sich um einen Unterraum von F handelt. 

(iv) F4 := {(a_n)_{n ∈ N} ∈ F | a_n+1 ≤ a_n ∀ n ∈ N und $$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \sqrt { { |a }_{ n }{ a }_{ n+1 }| }  } < ∞ $$  

Bestimmen Sie im Falle eines Unterraumes das neutrale Element und zu jedem Element des Raumes sein Inverses.

Answer 1

> aber wie mache ich das genau?

Nachdem du gezeigt hast, dass der Nullvektor in der Menge ist:

1. Versuche zu zeigen, dass F₄ kein Untervektorraum.
2. Wenn du dass nicht schaffst, dann versuche zu zeigen, dass F₄ ein Untervektorraum.
3. Wenn du das auch nicht schaffst, dann gehe zurück zu 1.

Der Grund, warum du zuerst versuchen solltest zu zeigen, dass F₄ kein Untervektorraum ist, ist, dass du dazu lediglich zwei Vektoren v₁, v₂ ∈ F₄ und ein r ∈ ℝ angeben musst, so dass v₁ + v₂ ∉ F₄ oder rv₁ ∉ F₄ ist. Das Problem ist also viel konkreter, als abstrakt Terme zu manipulieren.

Verweile bei den Punkten 1 und 2 nicht zu lange. Du weißt ja noch nicht, ob das was du gerade zeigen willst überhaupt wahr ist.

Zu Punkt 1 fällt mir auf, dass jede Folge in F₄ monoton fallend ist. Durch skalare Multiplikation mit -1 erhält man daraus eine Folge, die monoton steigend ist. War nun die ursprüngliche Folge nicht konstant, dann ist die durch skalare Multiplikation mit -1 entstandene Folge nicht mehr monoton fallend, also nicht in F₄.

Gibt es eine nicht konstante, monoton fallende Folge (a_n)_n∈ℕ, für die ∑_i=0..∞ √|a_na_n+1| < ∞ ist? Ich vermute es gibt eine solche und würde mich deshalb auf die Suche nach einer solchen begeben. Vielleicht so, dass eine konvergente geometrische Reihe Majorante von ∑_n=0..∞ √|a_na_n+1| ist.

Comments

Also was sagst du dazu?

a_n = 0;

$$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \sqrt { |0*0+1| } <\infty  } $$

-> F4 ≠ leer

a_n  sei ∈ F4 und 

λ = -1;

c_n = λ * a_n = -a_n ∈ F4

c_n+1 ≤ c_n 

-c_n+1≤ -a_n? --> !!!!

-> -a_n+1≥-a_n

-> λ(a_n) ∉ F4

-> F4 kein UR

so?

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> \(\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \sqrt { |0*0+1| } <\infty }\)

Da ist ein "+1" zu viel.

> F4 ≠ leer

Stimmt.

> -a_n ∈ F4

Das stimmt im Allgemeinen nicht. Stattdessen ist das ein Teil, den du zeigen musst um zu beweisen, dass F₄ ein Untervektorraum ist.

> c_n+1 ≤ c_n

Stimmt wenn c_n ∈ F₄ ist. Dass c_n ∈ F₄ ist, ist aber nicht bewiesen.

Was bedeutet eigentlich "? --> !!!!"? Ich habe das bisher in keinem mathematischen Text gesehen.

Beweise sollten nicht überwiegend aus einer Aneinanderreihung von Aussagen bestehen. Ich kann zum Beispiel keinen Zusammenhang zwischen deinen Aussagen

        c_n+1 ≤ c_n
und
        -c_n+1≤ -a_n

erkennen. Diesen Zusammenhang solltest du angeben. Auch weiß ich nicht, warum daraus

        -a_n+1≥-a_n

folgend soll.

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das mit +1 sollte im index stehen für a_n+1= und da a_n=0 ist sollte a_n+1= 0+1 sein dachte ich... aber macht kein sinn, da n+1 ja auf das nächste Element deutet und nicht das davor +1... das nächste Elemente könnte ja auch ganz was anderes sein wie 100 oderso, wir kenne nja nicht den Inhalt der Folge...

!!! sollte eigentlich auf ein widerspruch deuten, sollte ich vermutlich direkt hinschreiben...

Den Teil nochmal:

\( -c_{n+1} \leq-a_{n} ? \cdots \| ! ! \)
\( \rightarrow-a_{n+1} \geq-a_{n} \)
\( \rightarrow \lambda\left(a_{n}\right) \notin F 4 \)
\( \quad>F 4 \) kein UR

das "-" vor c_n ist ausversehen hingelangt...
c_n+1<= -a_n?

da c_n= -a_n war...

-a_n+1<= -a_n? -> WIDERSPRUCH
-> λ(a_n) ∈ F4
->F4 ist kein UR

ok ist es jetzt deutlicher?

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> -a_n+1<= -a_n? -> WIDERSPRUCH

Wieso ist das ein Widerspruch?

Die Folge (a_n)_n∈ℕ mit a_n = 0 ∀ n∈ℕ ist Element von F₄, weil

        0 ≤ 0, also a_n+1 ≤ a_n für alle n∈ℕ und

        ∑_n=0..∞√|a_na_n+1| = ∑_n=0..∞√|0·0| = ∑_n=0..∞0 = 0 < ∞.

Wenn diese Folge die einzige Folge in F₄ ist, dann ist

        -a_n+1<= -a_n

kein Widerspruch und F₄ ein Untervektorraum.

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ja aber c_n=λ(a_n) und λ=-1, haben wir so definiert

also ist c_n=-a_n

und c_n+1<= c_n (so ist die Bedingung)

d.h. c_n+1=-a_n+1<= -a_n=c_n

das muss irgendwie jetzt bedeuten, dass F4 kein UR, denn in den Lösungen steht F4 ist kein UR...

und wenn doch dann warum genau? 

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> ja aber c_n=λ(a_n) und λ=-1, haben wir so definiert

Ja.

> also ist c_n=-a_n

Das ist auch richtig.

> und c_n+1<= c_n (so ist die Bedingung)

Bedingungen haben etwas seltsames an sich: sie können erfüllt sein, oder auch nicht.

Warum ist die Bedingung deiner Meinung nach erfüllt?

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ich weiß nicht warum sie erfüllt ist oder nciht, ich weiß ja nicht was a_n+1 ist, aber laut bedingung sollte die <= a_n sein... also ich weiß ehrlich gesagt nicht was das jetzt heißt.

und was meinst du mit "Wenn diese Folge die einzige Folge in F₄ ist"... 

woher weiß ich ob a_n+1 wirklich <= A_N ist... soll ich vielleicht sagen, F4 ist ein UR wenn die folge a_n für n -> ∞ gegen -∞ geht?

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weil dann wäre a_n+1<=a_n auf jeden fall erfüllt?

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> ich weiß nicht warum sie erfüllt ist oder nciht, ...

Dann ist dein Beweis ab dieser Stelle unvollständig, weil deine Argumentation darauf aufbaut, dass die Bedingung erfüllt ist.

> und was meinst du mit "Wenn diese Folge die einzige Folge in F₄ ist"

Ich habe eine Folge konkret angegeben, die Element von F₄ ist. Für diese Folge habe ich gezeigt, dass das was du als Widerspruch bezeichnet hast, kein Widerspruch ist.

Gibt es eine zweite Folge in F₄? Falls ja, dann gib eine solche an indem du sagst, wie die Folgenglieder berechnet werden sollen!

> wenn die folge a_n für n -> ∞ gegen -∞ geht

Dann kann ∑_n=1..∞√|a_na_n+1| < ∞ nicht sein. Damit ∑_n=1..∞√|a_na_n+1| < ∞ gilt, muss 0 ein Häufungspunkt der Folge sein.