Wie kann man x^3 + 2x^2 + 8x + 7 faktorisieren?

Question

Ich bräuchte bei dieser Aufgabe Hilfe.

x^3 + 2x^2 + 8x + 7 = 0

Hier soll ich diese Gleichung Faktorisieren, aber ich möchte sie auf eine ganz besondere Art Faktorisieren.

Ich habe mal gesehen das man z.b 2x^2 oder 8x als Summe oder Differenz schreiben konnte und so ohne Probleme Faktorisieren. Leider habe ich keine genauere Informationen bekommen wie das geht.

Vielleicht weiß es jemand von euch.

Bitte nicht mit herkömmlichen Wege wie Polynomdivision etc.

Andere Möglichkeiten würden mich auch interessieren.

Danke !

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Schau mal hier: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3+%2B+2x%5E2+%2B+8x+%2B+7+%3D+0

Denkst du wirklich, dass du zwei Lösungen erraten kannst? Eine davon ist sicher komplex.

Answer 1

Ich habe mal gesehen das man z.b 2x² oder 8x als Summe oder Differenz schreiben konnte und so ohne Probleme Faktorisieren. Leider habe ich keine genauere Informationen bekommen wie das geht. 

Ich kann nur raten was du damit meinst:

$$ x^3+2x^2+8x+7=(x^3+x^2+7x)+(x^2+x+7)\\=x(x^2+x+7)+(x^2+x+7)=(x+1)(x^2+x+7) $$

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Danke. Ich hab meine Rechnung wieder gefunden.

x^3 + 2x^2 + 8x + 7

x^3 + x^2 + x^2 + x + 7x + 7

x^2(x+1) + x(x+1) + 7(x+1)

(x^2+x+7)(x+1)

Ich habe keine Ahnung mehr wie ich drauf gekommen bin, aber ein System muss es ja geben.

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x³ + 2x² + 8x + 7 =

x³ + x² + x² + x + 7x + 7 =

x²(x+1) + x(x+1) + 7(x+1) =

(x²+x+7)(x+1).

Das Polynom dritten Grades ist bereits über Z zerlegbar, daher ist es hier leicht möglich, einen Linearfaktor wie geschehen ohne große Umstände abzuspalten. Ist das Polynom dagegen nur über R zerlegbar, ist das nicht mehr so einfach.

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Danke, aber trotzdem kann ich nicht blind einfach Summen und Differenzen bilden. Da würde nur mit Glück meine erforderliche Kombination kommen. Es gibt sicher eine Vorgehensweise, könnte die mir jemand bitte erklären oder den Namen dieses Verfahren nennen.

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Dieses Verfahren hat keinen Namen. Es beläuft sich auf Erfahrung. Oder auch auf Glück ;)

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Einfache Beispiele gibt es hier:

(1) https://freie-referate.de/mathematik/faktorisierung-durch-gruppierung

(2) https://freie-referate.de/mathematik/faktorisierung-von-polynomen

Etwas mehr zur Faktorisierung von Polynomen findest du hier:

(3) https://de.wikipedia.org/wiki/Faktorisierung_von_Polynomen

Die genauen algebraischen Zusammenhänge und die darauf beruhenden Zerlegungsalgorithmen sprengen ein wenig den Rahmen der Schulmathematik. Immerhin gibt es, abhängig vom gewählten Koeffizientenring, Algorithmen, die ein Polynom in ein Produkt aus irreduziblen (unzerlegbaren) Faktorpolynomen zerlegt.

Answer 2

\( \begin{aligned} & x^{3}+2 x^{2}+8 x+7=0 \\ \rightarrow & \left(x = -1\right)\end{aligned} \)
\(\text {Horner }-\text { Schema } \)

\( \left|\begin{array}{ccc}{1} & {2} & 8 & 7 \\ & -1 & {-1} & {-7} \\ {1} & {1} & 7&{0}\end{array}\right| \)
\[
\begin{array}{l}
{\rightarrow x^{2}+x+7=0} \\
{\rightarrow(x+1)\left(x^{2}+x+7\right)=0}
\end{array}
\]

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Danke, aber das sind leider die Standard Wege. Ich wollte schauen ob es Alternative gäbe.

Answer 3

Theoretisch kannst du das so anschauen:

(x+a)(x+b)(x+c) = 0  hat die Lösungen x1 = -a, x2 = -b und x3 = -c 

Formal ausmultiplizieren:

(x+a)(x+b)(x+c) = 0

x^3 + ax^2 + bx^2 + cx^2 + abx + acx + bcx + abc = 0

x^3 + (a+b+c)x^2 + (ab + ac + bc)x + abc=0

Es folgt nun für x³ + 2x² + 8x + 7 = 0 

a+b+c = 2, ab + ac + bc = 8 und abc = 7 .

Hier sind nun aber 2 Lösungen nicht reell. Vgl. mein Kommentar oben. Du kannst ein wenig raten, wenn du weisst, dass b und c nicht reell sind:

Aus a = -1 folgt Re(b) + Re(c) = -1 und Re(b) = Re(c) .

usw.

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Danke. Ich hab schon befürchtet das für jede Gleichung ein unterschiedlicher Ansatz gewählt werden muss.

Kann ich eigentlich den Koeffizientenvergleich immer nutzen ?

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Ja. Mit dem Koeffizientenvergleich geht immer. Wenn eine Nullstelle ratbar ist dürfte aber das Horner Schema wie es Grosserloewe vorgemacht hat sehr viel schneller gehen.