Hat f ein Extremum auf der Menge {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 < 1}?

Question

Betrachte die Funktion g : ℝ² → ℝ mit f(x, y) = x² − y² . Zeige, dass f kein Extremum auf der Menge {(x, y) ∈ ℝ² : x² + y² < 1} besitzt.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize++x%5E(2)-y%5E(2)

Meine erste Frage ist: Verstehe ich die Menge {(x, y) ∈ ℝ² : x² + y² < 1} so richtig? Die Koordinaten der kritischen Punkte müssen jeweils quadriert und dann miteinander addiert kleiner als 1 sein. Also wenn wir den Punk P(2, 0)  haben, dann: 2²+0²=2 > 1 also dürfen wir den Punkt P nicht für diese Aufgabestellung nicht betrachten.

Ich habe nur den kritischen Punkt P(0, 0) gefunden und dieser passt ja in die Menge.  Dafür habe ich die Eigenwerte 2 und -2 ->indefinit -> Sattelpunk also kein Extrema.

Ist das so in Ordnung?

Danke

Answer 1

Hallo Bun,

betrachtet wird  f: {(x, y) ∈ ℝ²:  x² + y²  <  1} , f(x,y) = x² - y² 

dass keine globalen Extrema vorliegen, weil die Berandung der Definitionsmenge nicht zu D dazugehört, verstehst du sicher besser, wenn du dir die Ergebnisse bei Wolframalpha unter der Berücksichtigung der Definitionsmenge für den Fall, dass man die Berandung einschließt  

[   {(x, y) ∈ ℝ²: x² + y²  ≤  1}  ]  , ansiehst:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize++x%5E2-y%5E2+,+x%5E2%2By%5E2%3C%3D1

Die rot markierten Extrempunkte gehören eben nicht 

zum Bild  f( {(x, y) ∈ ℝ²: x² + y²  <  1} ) 

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Wenn man die Bedingung  x² + y²  <  1  bei Wolfram mit eingibt, entstehen verwirrende Ergebnisse, was wohl mit der Rechengenauigkeit zusammenhängt:

 https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize++x%5E2-y%5E2+,+x%5E2%2By%5E2%3C1

Dein Eingabe im Link der Frage geht von der Definitionsmenge ℝ² aus.

Gruß Wolfgang

Comments

Der Rand einer Menge ist stets abgeschlossen.

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Habe die "Beschreibung" dessen, was gemeint ist, geändert. Aber ich denke, das war sowieso jedermann klar.  Insofern konnte dein Kommentar eigentlich in dieser Form wohl bestenfalls Verwirrung stiften. 

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Der Teil, den du geändert hast, war voll ok.Mein Kommentar bezog sich auf den ersten Satz: "dass wegen des offenen Randes..." .

Verwirrung wollte ich damit auch nicht stiften.

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Okay, war auch als "Beschreibung" gemeint. Überlege gerade an einer besseren Formulierung und werde es ändern  :-)

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Hallo -Wolfgang-,

ich glaube ich habe die Aufgabenstellung falsch verstanden. Das liegt vermutlich daran, dass ich nicht wusste, wie ich mit der Menge umgehen sollte.

Wie oben erklärt dachte ich, dass ich wie normal mit den kritischen Punkten die Extrema suchen kann. Dabei dachte ich, dass P(x, y) mit x²+y²<1. Und mein kritischer Punk P(0, 0) für die Funktion erfüllt ja dies (0²+0²<1). Mit der Hesse-Matrix habe ich dann herausgefunden, dass P(0, 0) ein Sattelpunkt ist, also kein Extrema. Jedoch scheint diese Vorgehensweise falsch zu sein?

Meine erste Frage also: Wenn es heißt "Zeige, dass f kein *Extremum auf der Menge M besitzt" , dass mit *Extremum nur die globalen Extrema gemeint sind, weil Wolfram Alpha zeigt mir lokale Maxima/Minima an. (https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize++x%5E2-y%5E2+,+x%5E2%2By%5E2%3C1)

Kann ich bei dieser Aufgabe einfach mit dem Satz vom Maximum argumentieren: Da das Intervall x²+y²<1 oben nicht kompakt ist, kann es deshalb keine Extrema auf der Menge geben.

Danke.

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Der Satz vom Maximum und Minimum macht Aussagen über deren Existenz, nicht über deren Nichtexistenz.

> Da das Intervall x²+y²<1 ....

Es handelt sich hier nicht um ein Intervall ⊂ℝ  sondern um eine offeneKreischeibe ⊂ℝ² 

 > ... dass mit *Extremum nur die globalen Extrema gemeint sind ... 

Ich denke, da ist  beides  gemeint 

Was deinen letzten Link zu WA angeht, vgl. meine Antwort bzgl. des 2. Links.

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Ok. Wie ist dann die nicht Existenz der Extrema in der Menge mathematisch zu begründen?

Oder kann ich immer so vorgehen. Falls die Kreisscheibe geschlossen kann ich ja in der Regel mit dem Satz vom Maximum argumentieren.

Wenn sie offen wieder normal mit den Gradienten?

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Letzteres ist richtig.

Bei Ersterem hat man das Problem, dass jedes mit dem Gradienten ermittelte Extremum auch globales Extremum sein könnte.

Man muss also den Rand auf Stellen untersuchen, deren Funktionswerte größer oder kleiner sind als die der bereits ermittelten lokalen Extremstellen. Das kann man also so allgemein wohl nicht beschreiben.

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Bei der Aufgabe ging es ja denke ich nicht darum die Extrema zu errechnen, sondern zu argumentieren, dass diese existieren/nicht existieren. Bei meiner Aufgabe oben habe ich das einfach mit Gradienten gemacht, weil es sich ja um eine offene Einheitskreisscheibe handelt.

Nehmen wir an die Einheitskreisscheibe wäre geschlossen. Dann könnte man die Existenz der Extrema doch einfach mit dem Satz vom Maximum begründen, falls die Funktion stetig partiell differenzierbar ist, oder? 

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Wenn ich mir das vorstelle, sollte für die Exstenz in diesem Fall sogar die Stetigkeit ausreichen.

Answer 2

Ist wohl ok, bei Wolframalpha eher so:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize+x%5E2-y2++in+x%5E2%2By%5E2%3C1

Answer 3

In deiner Frage ist von zwei Funktionen und einer Relation die Rede:

g : ℝ² → ℝ (ohne Funktionsgleichung)

f(x, y) = x² − y² (wurde offenbar graphisch dargestellt)

x² + y² < 1 (Das ist das Innere des Einheitskreises in der x-y-Ebene).

Irgendwie bekomme ich da keinen Sinn rein.

Answer 4

ja das ist richtig.

Da die Menge offen ist reicht es aus, mithilfe des Gradienten Extrempunkte zu suchen.