Abschätzen von ((x-Π)/(sinx))1/2

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabe

f(x)=((x-Π)/(sinx))^1/2

Wenn man das Integral von 0 bis Π/2 über diese Funktion bildet wurde die Funktion abgeschätzt, so dass

((x-Π)/(sinx))^1/2 <= ((x/(sinx))^1/2 <=((x)^(1/2))/((2x)/Π)^1/2

Die erste Abschätzung habe ich noch verstanden aber wieso ist sin x <= 2x/Π

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe

Answer 1

An den Graphen sieht man gleich:

Im Bereich von 0 bis pi/2 ist sin x >= 2x/Π

Aber das steht ja im Nenner, also ist die

Abschätzung richtig.

~plot~ 2*x/pi;sin(x) ~plot~

Answer 2

> ((x-Π)/(sinx))^1/2

Ist auf dem Intervall von 0 bis π/2 nicht definiert. Ich kann mir deshalb nicht vorstellen, dass jemand die Abschätzung ((x-Π)/(sinx))^1/2 <= ((x/(sinx))^1/2 verstanden hat.

> aber wieso ist sin x <= 2x/Π

Ist es nicht. Es ist im Gegenteil sin x ≥ 2x/π (weil sin auf [0,1] rechtsgekrümmt ist, sin(0) = 2·0/π und sin(π/2) = 2·(π/2)/π ist). Dadurch das der Nenner bei x/(sinx) größer als bei x/(2x/Π) ist, ist x/(sinx) ≤ x/(2x/π).