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Zeigen ,dass : sind A,B ähnliche Matrizen, so ist A invertierbar genau dann wenn B invertierbar ist.

Mein Beweis :

wenn zwei Matrizen A und B ähnlich sind , dann es gilt :  A=S-1BS

So ich muss die beide Richtungen beweisen.

Erstmal nehme ich an,dass B invbar ist dann :

A * (S-1BS)-1 = A * S-1*B-1*S = S-1*B*S*S-1*B-1*S= I  

also A ist invbar mit A-1 = S-1*B-1*S

dann die andere richtung ich nehme an , dass A invbar ist und B = S-1AS

dann zeige ich dass 

B *  (S-1AS)-1 = B * S-1*A-1*S = S-1AS* S-1*A-1*S  = I und daraus folgt das B invbar ist mit B-1 = S-1*A-1*S

Ist so mein Beweis richtig ? 

Vielen Dank

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Beste Antwort

wenn zwei Matrizen A und B ähnlich sind , dann es gilt :

Es gibt ein S mit   A=S-1BS

So ich muss die beide Richtungen beweisen.

Erstmal nehme ich an, dass B invbar ist dann :

A * (S-1BS)-1 = A * S-1*B-1*S

vielleicht zum besseren Nachvollziehen mit Klammer!

= (S-1*B*S)*S-1*B-1*S= I   

also A ist invbar mit A-1 = S-1*B-1*S

dann die andere Richtung

ich nehme an , dass A invbar ist und B = S-1AS

dann zeige ich dass 

B *  (S-1AS)-1 = B * S-1*A-1*S = S-1AS* S-1*A-1*S  = I und daraus

folgt, dass B invbar ist mit B-1 = S-1*A-1*S

Na, ist doch prima !

Avatar von 287 k 🚀

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