Mit vollständiger Induktion zeigen: Summenformel für Quadratzahlen

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 Hallo,

in meiner Aufgabe wird gefordert das ich mit voll. Induktion beweise.

a)    image

Induktionsanfang

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Induktionsbehauptung

∃ n ∈ ℕ, n > 0: image

Induktionsschritt

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Jetzt ist die Frage, ob das überhaupt soweit richtig ist. Diese beiden Terme müssten doch das gleiche ergeben oder?

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LG

Gefragt 10 Okt von Gucki123

Manche Bilder sind nicht zu sehen.

komisch bei mir schon? wie kann ich das ändern?

Ich hab jetzt einfach einen screenshot gemacht.

Bild Mathematik

2 Antworten

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Beste Antwort

Im Induktionsschritt sollte es wohl heißen$$\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\sum_{k=1}^nk^2+(n+1)^\color{red}2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6+(n+1)^\color{red}2=\frac{n(n+1)(2n+1)+\color{red}6(n+1)^\color{red}2}6.$$

Beantwortet 11 Okt von nn Experte I

Danke für deine Antwort warum kommt da jetzt noch ein hoch 2? Woher nimmst du das? und die 6?

Es werden nicht die ersten \(n\) natürlichen Zahlen addiert, sondern die ersten \(n\) Quadratzahlen.

Aja klingt logisch und die 6 kommt von wo?

\(6\) ist der Hauptnennner, mit dem \((n+1)^2\) erweitert wird um addieren zu können.

Vielen Dank für deine Antworten!

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Zu zeigen:


Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2n + 1)


Induktionsanfang: Wir zeigen, dass es für n = 1 gilt.


Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1)

Σ (k = 1 bis 1) (k^2) = 1/6·1·(1 + 1)·(2·1 + 1)

1^2 = 1/6·2·3

1 = 1

Stimmt !


Induktionsschritt: Wir zeigen, dass es für n + 1 gilt, unter der Annahme, dass es für n gilt.


Σ (k = 1 bis n + 1) (k^2) = 1/6·(n + 1)·((n + 1) + 1)·(2·(n + 1) + 1)

Σ (k = 1 bis n) (k^2) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(2·n + 1) + (n + 1) = 1/6·(n + 2)·(2·n + 3)

1/3·n^2 + 1/6·n + n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1

1/3·n^2 + 7/6·n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1


Beantwortet vor 6 Tagen von Der_Mathecoach Experte CCXXVI

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