1.) Als erstes klammert man über und unter dem Bruchstrich die höchste Potenz von n, also n3 aus:
an = (n^2-n+1) / (2n^3+n+1) = n3*(1/n-1/n2+1/n3)/(n3*(2+1/n2+1/n3))
$$ a _ { n } = \frac { n ^ { 2 } - n + 1 } { 2 n ^ { 3 } + n + 1 } = \frac { n ^ { 3 } \cdot \left( \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } + \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \right) } { n ^ { 3 } \cdot \left( 2 + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } + \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \right) } = \frac { \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } + \frac { 1 } { n ^ { 3 } } } { 2 + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } + \frac { 1 } { n ^ { 3 } } } $$
Das ist nun eine Verkettung konvergenter Ausdrücke, also konvergiert auch der gesamte Ausdruck und zwar gegen die Verkettung der Grenzwerte:
limn→∞ an = (0-0+0)/(2+0+0) = 0
2.) Hier geht man ganz genauso vor und erhält dann:
an = (1-1/n+1/n²)/(8-3/n²)
limn→∞ an = (1-0+0)/(8-0) = 1/8
3.) an = (1-17/n²+1/n³)/(412/n + 13/n³)
Hier geht der Zähler gegen 1 und der Nenner gegen 0, die gesamte Folge geht also gegen Unendlich.
4.) Bei Folgen, die die Form einer ganzrationalen Funktion in n haben, gibt es folgende Regel:
Ist die höchste Potenz des Zählers größer, geht die Folge gegen Unendlich, ist die höchste Potenz des Nenners größer, geht sie gegen 0. Haben Zähler und Nenner den gleichen Grad, geht sie gegen den Quotienten der Koeffizienten der höchsten Potenz.
