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Hallo

ich hänge gerade an dieser Aufgabe fest:

a, b, c, n ∈ ℕ. Es ist ggT(a,b)=1 und a·b = c^n . Zeigen Sie, dass d, e ∈ ℕ existieren, sodass  gilt: a = d^n und b = e^n.

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Denek dir die  Primfaktorzerlegung von c.

Dann kommen in cn alle Primfaktoren genau n Mal vor.

Genau die gleichen kommen in dem Produkt a*b vor , da a*b=cn

Da wegen ggt=1 a und b keine gemeinsamen Primfaktoren haben,

kommen auch in der PFZ von a, bzw. von b alle

Primfaktoren genau n Mal vor. ( Oder es ist a oder b die

1, dann ist eh alles klar)

Nimm von diesen jeweils nur einen, dann hast du die PZL

von d und e.

Avatar von 287 k 🚀

Fiel mir gerade auf, dass man wohl noch etwas

genauer argumentieren muss an der Stelle:

Denke dir die  Primfaktorzerlegung von c und

fasse ggf. mehrere gleiche Primfaktoren pi zu Potenzen

zusammen und nenne sie qi.  So  entsteht c =  q1*q2*...*qk

Dann kommen in cn alle Faktoren qi  genau n Mal vor.

etc.

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