Bestimmen von Supremum, Infimum, Maximum, Minimum: Bsp. (ii) M2=ℚ ∩ ( √(5), √(6) ]

Question

Bestimme Infimum, Supremum von den Teilmengen von ℝ. In welchen Fällen liegt ein Maximum bzw. ein Minimum vor? Beweisen der Ergebnisse.

(i) M₁={(4n-1)/(2n) : n∈ℕ}

(ii) M₂=ℚ ∩ ( √(5), √(6) ]

(iii) M₃={x+(1/x) : (1/2) ≤ x < 2}

(i) ich habe n=1, n=2, n=3 eingesetzt und bin gekommen auf: Minimum=1,5, Maximum gibt es nicht, Infimum=1,5 und Supremum=2

(iii) Hier bin ich auf Supremum=2,5, Infimum=2, Maximum=2,5 und Minimum=2 gekommen

Stimmen meine Ergebnisse? Wie kann ich die Beweisen? Wie mache ich das bei ii?

Answer 1

(ii) M₂=ℚ ∩ ( √(5), √(6) ]

inf ist √(5) , sup ist √(6) , max und min gibt es nicht. da es beliebig nahe an den Wurzeln immer unendlich viele rationale Zahlen gibt. (So was sollte irgendwo im Skript ein Satz oder ein Lemma sein) 

Deine Ergebnisse könnten passen. Beweisen kannst du das z.B. mit einem Teil einer Kurvendiskussion von f . Max und Min: Stelle angeben und Max und Min ausrechnen. Sonst Monotonie .... untersuchen 

 (i) M₁={(4n-1)/(2n) : n∈ℕ}

f(x) = (4x-1)/(2x)  , x Element R. Dann auf N herunterbrechen. 

(iii) M₃={x+(1/x) : (1/2) ≤ x < 2}

f(x) = x + 1/x ,  (1/2) ≤ x < 2

Comments

Danke für deine Antwort.

Könntest du mir (ii) genauer erklären?