Mittels vollständiger Induktion beweisen: Verallgemeinerung der Bernoullischen Ungleichung

Question

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:

Seien x_k, k = 1;...; n, reelle Zahlen, die entweder alle im Intervall (-1; 0) liegen oder alle positiv sind. Dann gilt die verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung.

$$\prod_{k=1}^{n}\left(1+x_{k}\right) \geq 1+\sum_{k=1}^{n} x_{k}$$

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie beweise ich die Ungleichung mit vollständiger Induktion? Produkt- und Summenzeichen.

Stichworte: produktzeichen,summenzeichen,vollständige-induktion,ungleichungen,bernoulli

$$\prod_{k=1}^n (1+x_k) \ge 1 + \sum_{k=1}^n x_k$$ für alle n ≥ 1, n ∈ N, (verallg. Bernoulli-Ungleichung)

wobei alle x_k dasselbe Vorzeichen haben und x_k > −1 erfüllen.

---

Koenntest Du noch etwas spezifischer werden, wo denn jetzt genau das Problem liegt? Abgesehen davon, dass alle Induktionenn gleich gehen, geht die hier pratisch genauso wie bei der klassischen Bernoulli-Ungleichung. Und die hat man Dir sicher schon gezeigt, oder?

---

Vom Duplikat:

Titel: Beweisen Sie die folgende Verallgemeinerung der Bernoullischen Ungleichung

Stichworte: bernoulli,ungleichungen,produktzeichen,summenzeichen

Beweisen Sie die folgende Verallgemeinerung der Bernoullischen Ungleichung: Sind

für i ∈ {1, . . . , n} reelle Zahlen x_i ≥ 0 gegeben, so ist

Bemerkung und Zusatzfrage: Sind alle x_i
identisch, so erhält man die Bernoullische Ungleichung, die für x ≥ −1 gültig ist. Gilt also die angegebene Ungleichung auch für x_i ≥ −1
oder zumindest für x_i ∈ [−1, 0] ?

Answer 1

wenn die Zahlen alle größer als -1 sind, geht es wohl so:

Ind.anfang: ist wohl klar

Induktionsschritt

Produkt bis n+1 = Produkt bis n  *   ( 1 + x_n+1 )

                Ind. vor. benutzen und weil  ( 1 + x_n+1 ) > 0 ist

               gilt dann:

≥ ( 1 + Summe bis n ) *   ( 1 + x_n+1 )

=  ( 1 + x_n+1 ) + Summe bis n   +   x_n+1 * Summe bis n

= 1 + Summe bis n   +   x_n+1 * Summe bis n

≥ 1 + Summe bis n  

Answer 2

Induktionsanfang ist einfach: \(n=1\) und  \(1 + x_k = 1+ x_k\). Nun der Induktionsschritt $$\begin{aligned} \prod_{k=1}^{n+1} (1+ x_k) &= \left( \prod_{k=1}^n (1+x_k) \right)(1+x_{n+1}) \\&\ge \left( 1 + \sum_{k=1}^n x_k \right) (1+x_{n+1}) \\&= 1 +\left( \sum_{k=1}^n x_k\right) + x_{n+1} + x_{n+1}\sum_{k=1}^n x_k \\&= 1 + \sum_{k=1}^{n+1} x_k + x_{n+1}\sum_{k=1}^n x_k \\&\ge 1 + \sum_{k=1}^{n+1} x_k \quad \text{q.e.d.}\end{aligned}$$ Der Schritt von der vorletzten zur letzten Zeile ist richtig, da in jedem Fall \(x_{n+1} \sum_{k=1}^n x_k \ge 0 \) ist, da alle \(x_k\) das gleiche Vorzeichen haben. Somit ist das Produkt zweier beliebiger \(x_k\) stets \(\ge 0\).

Gruß Werner

Comments

das heißt , der Weg , den du gemacht hast , nicht mit Bernoullische Ungleichung zu tun ?

---

das heißt , der Weg , den du gemacht hast , nicht mit Bernoullische Ungleichung zu tun ?

Warum nicht? Ich unterstelle, Du beziehst Dich auf die Aussage mit dem gleichem Vorzeichen von \(x_k \space \forall k\). Bei der Bernoullischen Ungleichung sind alle \(x_k=x \space \forall k\) identisch und haben demzufolge auch identische Vorzeichen.

Answer 3

Beweis per Induktion. Der Anfang sollte klar sein. Dann

$$ \prod_{i=1}^{n+1} (1+x_i) = \prod_{i=1}^n (1+x_i) (1+x_{n+1}) \ge \left( 1+ \sum_{i=1}^n x_i \right) (1+x_{n+1}) \ge 1 + \sum_{i=i}^{n+1} x_i $$

Für \( n = 2 \) folgt

$$ \prod_{i=1}^{n+1} (1+x_i) = (1+x_1) (1+x_2) = 1 +x_1 +x_2 +x_1 x_2 $$und hier gilt die Ungleichung nur wenn \( x_1 \) und \( x_2 \) gleiches Vorzeichen haben, also nicht für alle \( x_i \ge  =1 \)

Den dritten Fall kannst Du aus dem Induktionsbeweis ableiten.