Entscheiden Sie bei jeder der folgenden Mengen M mit Verknüpfung welche der Gruppenaxiome sie erfüllen.

0 Daumen
184 Aufrufe

M = { g ∈ G | ∀h ∈ G: g * h = h * g } für eine Gruppe (  G, *) mit der Verknüpfung der  Gruppe (G, *) als Verknüpfung. 


Hey, ich weiß gerade nicht wie ich bei dieser Aufgabe die Abgeschlossenheit zeigen soll.. also ich hab versucht mit g*h=h*g zu begründen ,dass M abgeschlossen ist ,da h*g element G ist. aber das scheint ja nicht wirklich richtig zu sein. Kann jmd. mir paar tipps geben? Danke im Voraus,


MfG

Gefragt 11 Nov von justinjc

also ich habe noch versucht mit (g1,h1)*(g2,h2)=(g1*g2,h1*h2) zu beweisen, dass g1*g2 element G ist und h1*h2 ebenfalls. Ist das so richtig?

Die Elemente von M kommutieren mit allen Elementen von G. Wenn g1, g2 ∈ M, dann ist zu zeigen, dass g1 * g2 auch mit allen Elementen aus G kommutiert, d.h. es muss

   (g1 * g2) * h = h * (g1 * g2)

fuer alle h ∈ G gelten.

d.h. also dass hier um einer abelschen Gruppe handelt? wie zeige ich dann die Gruppenaxiome? 

MfG

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

> ich weiß gerade nicht wie ich bei dieser Aufgabe die Abgeschlossenheit zeigen soll

Seien g1, g2 ∈ M. Dann gilt für alle h ∈ G

    (g1 * g2) * h

= g1 * (g2 * h) wegen Assoziativgesetz in G

= g1 * (h * g2) wegen g2 ∈ M

= (g1 * h) * g2 wegen Assoziativgesetz in G

= (h * g1 ) * g2 wegen g1 ∈ M

= h * (g1 * g2) wegen Assoziativgesetz in G.

Also ist (g1 * g2) ∈ M.

Beantwortet 12 Nov von oswald Experte XXIV

Vielen Dank für die Antwort. Jetzt bin ich zum neutralen Element von der Aufgabe gekommen. es muss ja nach der Def. gelten, g*e=e*g=g. aber mit den gegebenen Mengen komm ich irgendwie damit nicht weiter.. Können Sie mir da paar tipps geben?

MfG

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by Matheretter
...