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Aufgabe:

Die Fakultätsfunktion ist wie folgt definiert,

\( n !=1 \cdot 2 \cdots \cdots n \quad \text { und } \quad 0 !=1 \)

(Äquivalente rekursive Definition: \( 0 !:=1 \) und \( (n+1) !:=(n+1) \cdot n !) \)

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion über \( \mathbb{N}^{*} \), dass

\( \sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot k !=(n+1) !-1 \)


Ansatz:

Ich bin bis zu dieser Rechnung angekommen:

Induktionsanfang: Die Aussage n=1 ist wahr für 1 · 1! = (1+1)! - 1 = 1

Induktionsschritt: Für alle (k · k!)·n = (n+1)! - 1

(k · k!)·n = (n+1)·n! - 1             +1
k · n! · n + 1 = (n+1)·n!

weiter komme ich nicht.

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Zu zeigen


Σ (k = 1 bis n) (k·k!) = (n + 1)! - 1


Induktionsanfang n = 1


Σ (k = 1 bis 1) (k·k!) = (1 + 1)! - 1

1·1! = 2! - 1

1 = 1

wahr


Induktionsschritt n --> n + 1


Σ (k = 1 bis n + 1) (k·k!) = ((n + 1) + 1)! - 1

Σ (k = 1 bis n) (k·k!) + (n + 1)·(n + 1)! = (n + 2)! - 1

(n + 1)! - 1 + (n + 1)·(n + 1)! = (n + 2)! - 1

(n + 1)! + (n + 1)·(n + 1)! = (n + 2)!

(n + 1)!·(1 + (n + 1)) = (n + 2)!

(n + 1)!·(n + 2) = (n + 2)!

(n + 2)! = (n + 2)!

wahr


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