Sei f : N0 x N0 → N0 gegeben durch f(k, l) = 2^k (2l + 1) - 1. Zeigen Sie, dass f bijektiv ist.

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Sei f : N0 x N0 → N0 gegeben durch f(k, l) = 2k(2l + 1) - 1. Zeigen Sie, dass f bijektiv ist.

Gefragt 12 Nov von gast2345

Injektiv ist klar. Bei der Surjektivität ist es vielleicht hilfreich:

eine natürliche Zahl n 1 kann eindeutig als produkt einer geraden Zweierpotenz die wären ja enthalten und einer ungeraden Zahl (hier ist das 2l + 1) geschrieben werden

mit gerade meinte ich dass eine Zweierpotenz eine gerade Zahl ist. Sonst würden ja verschiedene Elemente aus der Ausgangsmenge zu einem Element der Zielmenge führen und f wäre nicht injektiv.

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Hallo gast2345, Beweis Injektivität:

Die Primfaktorenzerlegung ist eindeutig (I):
180 = 22 * 32 * 5
22 : 2k
32 * 5 : Jedes Produkt aus ungeraden Zahlen ist wieder ungerade -> 2 l + 1

Ist jede ungerade Zahl 2 l + 1 eindeutig in Primzahlen zerlegbar?  Ja, siehe (I).  Damit ist f injektiv.  Es gibt für eine Zahl wie z. B. 180 keine zwei verschiedenen Paare (k, l), mit denen man diese Zahl bilden kann.

Bleibt Surjektivität zu zeigen.


Beantwortet vor 6 Tagen von RomanGa Experte I

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