Definieren Sie eine Bijektion zwischen ℤ und ℤ_2v3 := { n ∈ ℤ: (2|n) ∨ (3|n) }

Question

Hi,

Definieren Sie eine Bijektion zwischen ℤ und ℤ_2v3 := { n ∈ ℤ: (2|n) ∨ (3|n) }

Es würde bereits genügen eine Injektion der Form f :  ℤ -> ℤ_2v3  zu finden.

Am Beispiel verdeutlicht müsste das ja heißen, dass ich mit jeder beliebigen ganzen Zahl so anfangen kann, dass für jede Zahl in ℤ genau eine Zahl in ℤ_2v3 existiert. Da es eine Bijektion sein soll , muss ich durch die Umkehrfunktion wieder auf eine Zahl aus ℤ kommen. Konkret beispiel:

12 ist durch 3 teilbar, also wird 12 auf die 4 in   ℤ_2v3 abgebildet. Um wieder zurück zu ℤ zu gelangen, muss ja jetzt das 3 bzw. 2 fache von 4 auch wieder in ℤ enthalten sein.

Wie müsste jetzt aber eine formale Injektion bzw. Bijektion aussehen, die diese Eigenschaft erfüllt und durchch die sich alle ganzen Zahlen darstellen lassen ?

Answer 1

Hallo Weckmann, es heißt ja in der Aufgabe, Injektion reicht.  Dann:
f(x) = 6 x oder g(x) = 2 x oder h(x) = 3 x.
Bijektion ist schon schwerer, weiß ich auch nicht.
Siehe Bild.

Comments

Bijektion ist schon schwerer, weiß ich auch nicht.

Eine solche ist z.B.   f :  ℤ -> ℤ_2v3   gemäß   f(n)  =  n·( 3 - 2·| cos(n·π/2) | )

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Genial!  Das ist äquivalent zu
f(x) = x für gerade x
      = 3 x für ungerade x