Basis vom Spann angeben U2:= Spann_(ℝ)( t, t^2 + 1, t^2 + t, t^3 - 1)?

Question

Hi,

die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie mit Begründung je eine ℝ-Basis von ii) U₂:= Spann_ℝ( t, t² + 1, t² + t, t³ - 1). Ich bin mir nicht sicher, wie ich die Aufgabe lösen soll. Meine Idee war, dass ich zuerst die Dimension der Basis bestimmen sollte, um eine Basis zu ermitteln. Ich glaube, diese ist 4, da man ja 4 verschiedene Polynomgrade hat, die man aufschreiben könnte, z.B. der erste Vektor (t) als (0*t³ + 0*t² + 1*t¹ + 0*t⁰ ). Wenn ich das mit allen Vektoren mache, bekomme ich ein Gleichungssystem, welches ich lösen kann, aber irgendwie hilft mir das auch nicht weiter :/. Ich habe auch nicht ganz verstanden, wie man die Polynome betrachten sollte. Wenn ich einen Vektor t habe und einen Vektor t² + 1, wie ist dann der zweite zu verstehen? Ist das dann ein Vektor, dessen Werte quadriert werden und anschließend eins addiert wird?

gabsen61

Answer 1

Hi

Prüfe, ob t, t² + 1, t² + t, t³ - 1 linear unabhängig sind. Wenn ja, ist das eine Basis von U₂. Wenn t, t² + 1, t² + t, t³ - 1 linear abhängig sind, kannst du einen Vektor rausschmeißen und das Verfahren wiederholen, bis du bei einer bestimmten Anzahl unabhängiger Vektoren ankommst, die eine Basis von U₂ bilden.

Beste Grüße