Den Wert der Reihen berechnen

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Hallo Zusammen, 

kann jmd mir bei dieser Aufgabe helfen ? 

Bild Mathematik


Danke im Voraus :) 

Gefragt 4 Dez von Simo

Tipp: 1. binomischer Lehrsatz 

2. geometrische Reihen

Danke für deine schnelle Antwort, kannst du oder jmd zeigen wie ich damit anfangen soll. Ich bin mir unsicher wenn ich aus der Definitionen was lösen muss.

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(ii)


$$\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 2\quad -\quad { \left( -1 \right)  }^{ n } }{ { 3 }^{ n } }  } \quad =\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 3 }{ { 3 }^{ 2n-1 } }  } \quad +\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 3 }^{ 2n } }  } \\ \\ =\quad { \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ { 3 }^{ n-1 } }  \right)  }^{ 2 } }  }\quad +\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ { 3 }^{ n } }  \right)  }^{ 2 } } \quad =\quad { \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ { 3 }^{ n } }  \right)  }^{ 2 } }  }\quad +\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ { 3 }^{ n } }  \right)  }^{ 2 } } \quad \\ \\ =\quad \quad 2\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 9 }^{ n } }  } \\ \\ =\quad 2\quad *\quad \left( { \frac { 1\quad -\quad \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { 1 }{ { 9 }^{ n } }  }{ 1\quad -\quad \frac { 1 }{ 9 }  }  } \right) \quad =\quad 2\quad *\quad \frac { 9 }{ 8 } \quad =\quad \frac { 9 }{ 4 } \quad $$

Beantwortet 4 Dez von gollumgollumgirl

wegen des assoziativgesetzes habe ich es nochmal geändert:

$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 2\quad -\quad { \left( -1 \right)  }^{ n } }{ { 3 }^{ n } }  } \quad =\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 3 }{ { 3 }^{ 2n-1 } }  } \quad +\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 3 }^{ 2n } }  } \\ \\ =\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 3 }^{ 2n-2 } }  } +\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 3 }^{ 2n } }  } \quad =\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 3 }^{ 2n } }  } +\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 3 }^{ 2n } }  } \\ \\ =\quad { \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 9 }^{ n } }  }  }\quad +\quad { \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 9 }^{ n } }  }  }\quad =\quad 2\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 9 }^{ n } }  } \\ \\ =\quad 2\quad *\quad \left( { \frac { 1\quad -\quad \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { 1 }{ { 9 }^{ n } }  }{ 1\quad -\quad \frac { 1 }{ 9 }  }  } \right) \quad =\quad 2\quad *\quad \frac { 9 }{ 8 } \quad =\quad \frac { 9 }{ 4 } \quad $$

Kurze Verständnisfrage: wo verschwindet denn die 3 im Zähler von der ersten auf die zweite zeile hin?
Edit: Ok jetzt ist es einleuchtender

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